Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Пример 1. Два точечных заряда и закреплены на расстоянии друг от друга

Прочитайте:

Пример 1. Два точечных заряда и закреплены на расстоянии друг от друга. По величине заряд в 9 раз больше заряда . Третий заряд может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда , при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда равновесие будет устойчивым?

Дано:

Найти: –?

Решение: Заряд будет находиться в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, будет равна нулю. Это значит, что на заряд должны действовать две силы, равные по модулю и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков I, II, III (см. рис.) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд положительный.

На участке I (рис. а) на заряд будет действовать две противоположно направленные силы и . Сила , действующая со стороны заряда , в любой точке этого участка больше силы , действующей со стороны заряда , так как больший будет всегда находиться ближе к заряду , чем меньший заряд . Поэтому равновесие на этом участке невозможно.

На участке II (рис. б) обе силы и направлены в одну сторону: к заряду . Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.

На участке III (рис. с) силы и направлены в противоположные стороны, так же, как и на участке I, но здесь меньший заряд будет находиться всегда ближе к заряду , чем больший заряд . Это значит, что на этом участке можно найти такую точку на прямой, где силы и будут одинаковы по модулю, т.е. . Пусть и – расстояние от меньшего и большего зарядов до заряда . Выразив в равенстве (1) и в соответствии с законом Кулона, получим , или , откуда ; . Корень не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы и хотя и равны по абсолютной величине, но направлены в одну сторону).

Определим теперь знак заряда, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в это положение. Рассмотрим смещение заряда в двух случаях: когда заряд положителен и когда заряд отрицателен.

Если заряд положителен, то при смещении его влево обе силы и возрастают, но возрастает медленнее (заряд всегда находится дальше, чем заряд ). Следовательно, (по абсолютному значению) больше, чем , и на заряд будет действовать результирующая сила, направленная также влево. Под действием этой силы заряд удаляется от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда вправо. Сила будет убывать быстрее, чем . Геометрическая сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т.е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым.

Если заряд отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил и , но сила будет возрастать медленнее, чем , т.е. | F ₂| > | F ₁|. Результирующая сила направлена вправо. Под действием этой силы заряд возвращается к положению равновесия. При смещении вправо сила убывает быстрее, чем ,т.е. |F₁|>|F₂|. Результирующая сила направлена влево, и заряд опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда несущественна.

Пример 2. Три положительных заряда расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?

Дано:

Найти: –?

Решение: Все три заряда, расположенных по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например , находился в равновесии. Заряд будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (см. рис.):

, где , , – силы, с которыми действуют на заряд соответственно заряды , , ; – равнодействующая сил и . Так как силы и направлены по одной прямой в противоположные стороны, векторное равенство можно заменить скалярным: , откуда: .

Выразим в последнем равенстве как сумму проекций сил и на направление диагонали ромба

Применив закон Кулона и, так как , найдем , откуда .

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что .

Подставим в формулу:_.

Произведем вычисления:

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

Пример 3. Два одинаковых шарика массой подвешены на нитях длиной . После того, как шарикам были сообщены одинаковые заряды, они разошлись на расстояние . Определить заряды шариков.

Дано: ; ; .

Найти: –?

Решение: На каждый из отклоненных шариков действуют: – сила тяжести; – сила натяжения нити; – электрическая сила взаимодействия шариков (см. рис.). Запишем условие равновесия шариков под действием приложенных сил в векторной форме:

Запишем это уравнение в проекциях на выбранные направления осей х и у: ; (1). Учитывая, что запишем уравнение (1) в виде:

; . (2)

Разделив почленно первое из уравнений (2) на второе, получим

Поскольку угол α мал, , тогда ,

Вычислим: :

Пример 4. Точечные электрические заряды и находятся в воздухе на расстоянии друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда на расстояние и от заряда на .

Дано: ; ; ; .

Найти: , –?

Решение: Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей и полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: .

Напряженность электрического поля, создаваемого в воздухе зарядами и определяется по следующим формулам:

(1), . (2)

Вектор направлен по силовой линии от заряда , так как заряд положителен; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду , так как заряд отрицателен. Модуль вектора найдем по теореме косинусов: . (3)

Здесь – угол между векторами и , который может быть найден из треугольника со сторонами , и : . В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение вычислить отдельно: . Подставив выражения и в уравнение (3) и вынеся общий множитель за знак корня, получим . (4)

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал результирующего поля, создаваемого двумя зарядами и , равен алгебраической сумме потенциалов: (5).

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом на расстоянии от него выражается формулой (6). В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим

, или

Произведем вычисления:

При вычислении знак заряда опущен, так как он определяет направление вектора напряженности, которое было учтено при его графическом изображении (см. рис.):

Пример 5. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом , равномерно заряженным с линейной плотностью . Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии и от поверхности цилиндра в средней его части.

Дано: ; ; .

Найти: –?

Решение: Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала: . Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде , или . Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих от оси цилиндра на расстояниях и :

. (1)

Так как цилиндр длинный, и точки взяты вблизи его средней части, для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром: . Подставив выражение Е в уравнение (1), получим:

. (2)

Произведем вычисления, учитывая, что ; .

Пример 6. Заряд переносится из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии от поверхности заряженного шара радиусом . Поверхностная плотность положительного заряда . Определить совершаемую при этом работу. Какая работа совершается на последних пути?

Дано: , ; , .

Найти: А –?

Решение: Работа внешней силы по перемещению заряда из точки поля с потенциалом в другую точку с потенциалом равна абсолютной величине, но противоположна по знаку работе сил поля по перемещению заряда между этими точками поля, т.е. . Работа сил электрического поля определяется по формуле .

Тогда (1), где и – потенциалы в начальной и конечной точках соответственно.

Потенциал, создаваемый заряженным шаром радиусом в точке на расстоянии от его поверхности, определяется по формуле

(2), где – заряд шара.

Потенциал в бесконечно удаленной точке (при ) будет равен нулю. Потенциал _,рассчитанный по формуле (2), подставим в (1) и после преобразований получим

(3).

Подставив численные значения в уравнение (3), получим

Работу на последних 10 см пути можно определить по формуле

, (4)

где – потенциал в точке на расстоянии (R+r₁+r₂) от центра шара. Подставив выражение и в уравнение (4), после преобразований получим . (5)

Первое слагаемое в этом уравнении численно равно . Подставим числовые значения и вычислим :

Пример 7. Шарик массой перемещается из точки А, потенциал которой в точку В, потенциал которой равен нулю. Определить скорость шарика в точке А, если в точке В его скорость . Заряд шарика .

Дано: .

Найти: V ₁ –?

Решение: Шарик перемещается под действием электрической силы со стороны поля. При этом изменение кинетической энергии шарика равно работе электрической силы: . (1)

Поскольку и А =q (φ₁ – φ₂), уравнение (1) можно привести к виду , откуда

Пример 8. Два плоских конденсатора одинаковой электроемкости соединены в батарею последовательно и подключены к источнику тока с электродвижущей силой Е. Как изменится разность потенциалов U ₁ на пластинах первого конденсатора, если пространство между пластинами второго конденсатора, не отключая источника тока, заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ?

Дано: .

Найти: –?

Решение: До заполнения второго конденсатора диэлектриком разность потенциалов на пластинах обоих конденсаторов была одинакова: . После заполнения электроемкость второго конденсатора возросла в ε раз: . Электроемкость первого не изменилась, т.е. .

Так как источник тока не отключался, общая разность потенциалов на батарее конденсаторов осталась прежней, она лишь перераспределилась между конденсаторами. На первом конденсаторе

, (1)

где q – заряд на пластинах конденсатора. Поскольку при последовательном соединении конденсаторов заряд на каждой пластине и на всей батарее одинаков, , где

Таким образом, . Подставив это выражение заряда в формулу (1), найдем .

Чтобы найти, как изменилась разность потенциалов на пластинах первого конденсатора, вычислим отношение: ; . Таким образом, разность потенциалов на пластинах первого конденсатора после заполнения второго конденсатора диэлектриком возросла в 1,75 раза.

Пример 9. Конденсатор емкостью был заряжен до разности потенциалов . После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью . Какая энергия израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Дано:

Найти: –?

Решение: Энергия, израсходованная на образование искры,

, (1)

где – энергия, которой первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; – энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле (2), где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов. Выразив и аналогично формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

, (3)

где U ₂ – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U ₂ следующим образом:

(4)

Подставив выражение для U ₂ в (3), найдем

, или

Произведем вычисления: .

Пример 10. Элемент с э.д.с. Е = 2,1 В и внутренним сопротивлением соединен с реостатом. Определить силу тока в цепи и сопротивление реостата, если напряжение на зажимах элемента U = 2 В. Какой длины надо взять для изготовления реостата железную проволоку, если площадь ее сечения S = 0,75 мм ²?

Дано: э.д.с. = Е = 2,1 В; ; U = 2 В; S = 0,75 мм ²=

Найти: l –?

Решение: По закону Ома для замкнутой цепи сила тока

(1)

По закону Ома для участка цепи, состоящего из реостата, та же сила тока . (2). Решив совместно уравнение (1) и (2), получим:

; ;

;

Из формулы найдем длину железной проволоки: где – удельное сопротивление железа.

Пример 11. Определить сопротивление подводящих проводов источника с напряжением U = 120 В, если при коротком замыкании предохранители из свинцовой проволоки площадью сечения и длиной плавятся за . Начальная температура предохранителя .

Дано: U = 120 В; , ; ; .

Найти: R –?

Решение: Количество теплоты, необходимое для нагревания свинца до точки плавления и последующего плавления свинца при этой температуре, Q ₁ = Δ Q ₁ + Δ Q ₂. Так как Δ Q ₁ = С m Δ T, Δ Q ₂ = , , Δ T = Т _пл – Т,