АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Мощность континуума

Рассматривая свойства счетных множеств, мы стремились доказать счетность тех или иных бесконечных множеств. Однако все ли бесконечные множества счетны? Чтобы обнаружить несчетные множества, пришлось преодолеть немало трудностей. И Б. Больцано, и Г. Кантор, чувствуя, что идея установления взаимно однозначного соответствия есть ключ к поиску мощности бесконечных множеств, были близки к решению вопроса одновременно. Б. Больцано первым пришел к способу оценки бесконечных множеств путем установления взаимно однозначного соответствия, а Г. Кантор первым сумел найти несчетное множество. Оно бесконечно и не эквивалентно множеству натуральных чисел.

ТЕОРЕМА. Отрезок числовой прямой содержит
несчетное множество точек.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Предположим противное: – счетное множество точек. Пронумеруем их:

Любая ли точка этого отрезка оказывается включенной в данную последовательность?

Для доказательства теоремы следует найти такую точку на отрезке , которая не охватывается данной последовательностью.

Для этого разделим отрезок на три равные части (рис. 7.8). Получим отрезки:

Рис. 7.8. Построение точки, не входящей в последовательность .

Хотя бы на одном из них нет точки _. Выделив его, делим новый отрезок, являющийся подмножеством отрезка , снова на три равные части и выделим ту, на которой нет точки (на этой “трети” не будет и точки , и точки , как это было установлено выше). Далее новый отрезок опять делим на три равные части и выбираем ту из них, где нет точки а₃ (как показано, точек и на ней также не будет), и так далее. В результате на n - м шаге мы получаем отрезок длины

Почему делим на 3 части, а не пополам или же на 4 части? Почему эти 3 части должны быть равны?

, на котором также нет точек , , , ..., . Продолжая бесконечно этот процесс, мы находим точку а, которая не включена в последовательность

Действительно, а – общая точка этих отрезков. Будучи точкой отрезка , она должна входить в указанную последовательность, но это невозможно, потому что, какое бы n мы ни взяли, точка а_n не может принадлежать соответствующему отрезку, а точка а будет ему принадлежать, следовательно, а отлична от всех а_n, что и доказывает теорему.

Мощность множеств, эквивалентных отрезку , назовем МОЩНОСТЬЮ КОНТИНУУМА и обозначим буквой c.

Укажем некоторые из таких множеств.

Рассмотрим отрезок . Формула

,

устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством и множеством . Следовательно, имеет мощность континуума.

Кроме того, множества:

и

имеют ту же мощность континуума c, так как отличаются от множества конечным числом точек, что сохраняет их мощность.

Совершенно неожиданный результат получил Г. Кантор, предполагая первоначально, что квадрат со стороной, равной 1, содержит “больше” точек, чем отрезок . Они оказались эквивалентными.

Действительно, если квадрат расположить в системе координат XOY, как это указано на рис. 7.9, то всякой его внутренней точке W, имеющей координаты

можно поставить в соответствие точку интервала :

Рис. 7.9. Взаимно однозначное соответствие между точками внутри квадрата и точками интервала .

Разным точкам W квадрата будут соответствовать разные точки интервала . Можно показать (используя более строгие рассуждения), что такое однозначное соответствие будет взаимно однозначным, поэтому множество точек квадрата со стороной, равной 1, и отрезок имеют одинаковую мощность. Более того, не только квадрат, но, например, куб или шар, содержит “столько же” точек, сколько отрезок .

Сравнение множества натуральных чисел, N, являющегося счетным, и несчетного множества точек отрезка вызывает вопрос: имеются ли множества промежуточной мощности? Иначе говоря, есть ли бесконечное множество, в котором количество элементов “больше”, чем натуральных чисел, и “меньше”, чем точек на отрезке ? Это есть знаменитая проблема КОНТИНУУМА, которая до сих пор волнует многих математиков. В начале шестидесятых годов ХХ-го столетия было установлено, что существуют как системы аксиом, в которых гипотеза континуума истинна, так и аксиоматические построения, в которых она ложна.

В теории множеств доказаны следующие интересные утверждения:

1. Для любого множества Aсуществует множество большей мощности.

2. Множества самой большой мощности не существует.

3. Множество всех подмножеств множества A имеет мощность большую, чем мощность A.

4. Множество всех подмножеств счетного множества имеет мощность континуума.

Теория множеств полна проблем и парадоксов, которые и в настоящее время вызывают интерес у исследователей. Вот, например, парадокс Б. Рассела.

Пусть M – множество всех множеств, а N – множество всех его подмножеств. Тогда мощность множества N всех подмножеств должна быть больше мощности множества M (по утверждению 3). Но по определению N – подмножество , отсюда, N=M.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 1107 | Нарушение авторских прав