АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Аксиома полноты (непрерывности)

15. Если непустые множества А и В действительных чисел таковы, что для любых и выполняется неравенство a < b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.

Аксиома полноты справедлива только в R.

Можно доказать, что между любыми не равными рациональными числами всегда можно вставить не равное им рациональное число.

Из данных выше аксиом можно вывести единственность нуля и единицы, существование и единственность разности и частного. Отметим, дополнительно, свойства неравенств, которые широко используются в различных преобразованиях:

1. Если a < b, с < d, то a+c < b+d.

2. Если a < b, то –a > –b.

3. Если a > 0, b < 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab > 0. (Последнее верно и при a > 0, b > 0.)

4. Если 0 < a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd.

5. Если a < b, c > 0, то ac < bc, а если a < b, c < 0, то bc < ac.

6. Если 0 < a < b, то .

7. 0 < 1, то – 1 < 0.

8. Для любых положительных чисел а и b найдется такое число nÎ N, что na > b (аксиома Архимеда, для отрезков длины a, b, na).

Используются следующие обозначения числовых множеств:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I – множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

R₊ –множество действительных положительных чисел;

R ^_ – множество действительных отрицательных чисел;

R₀ – множество действительных неотрицательных чисел;

С – множество комплексных чисел (определение и свойства этого множества рассматриваются в разделе 1.1).

Введем на множестве действительных чисел понятие ограниченности. Оно далее будет активно использоваться в рассуждениях.

Будем называть множество ОГРАНИЧЕННЫМ СВЕРХУ (СНИЗУ), если существует такое действительное число М ( m ), что любой элемент удовлетворяет неравенству :

Число Mназывается ВЕРХНЕЙГРАНью МНОЖЕСТВАA, а число m – НИЖНЕЙ ГРАНью этого множества.

Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество N натуральных чисел ограничено снизу, но не ограничено сверху. Множество целых чисел Z не ограничено ни снизу, ни сверху.

Если рассмотреть множество площадей произвольных треугольников, вписанных в круг диаметра D, то снизу оно ограничено нулем, а сверху – площадью любого многоугольника, включающего в себя круг (в частности, площадью описанного квадрата, равной D ²).

Любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечно много верхних (нижних) граней. Тогда, есть ли наименьшая из всех верхних границ и наибольшая из всех нижних границ?

Будем называть число точной верхней гранью ограниченного сверху множества А Ì R, если:

1. является одной из верхних граней множества А;

2. является наименьшей из верхних граней множества А. Другими словами, действительное число является точной верхней гранью множества А Ì R, если:

Принято обозначение

Аналогично вводятся: – точная нижняя грань ограниченного снизу множества А и соответствующие обозначения

По-латыни: supremum – наивысшее, infimum – наинизшее.

Точные грани множества могут ему как принадлежать, так и не принадлежать.

ТЕОРЕМА. Ограниченное сверху (снизу) непустое множество дейст­вительных чисел очную верхнюю (нижнюю) грань.

Эту теорему мы примем без доказательства. Например, если , то верхней границей можно считать число 100, нижней –10, а . Если же , то . Во втором примере точные границы данному множеству не принадлежат.

На множестве действительных чисел можно выделить два непересекающихся подмножества алгебраических и трансцендентных чисел.

АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ЧИСЛАМИ называются числа, которые являются корнями многочлена

коэффициенты которого – целые числа.

В высшей алгебре доказывается, что множество комплексных корней многочлена конечно и равно n. (Комплексные числа являются обобщением действительных). Множество алгебраических чисел счётно. Оно включает в себя все рациональные числа, так как числа вида

удовлетворяют уравнению

Доказано также, что существуют алгебраические числа, не являющиеся радикалами из рациональных чисел. Этот очень важный результат остановил бесплодные попытки найти решения уравнений степени выше четвертой в радикалах. Многовековые поиски алгебраистов, изучавших эту проблему, сумел обобщить французский математик Э. Галуа, нелепо погибший в возрасте 21 года. Его научные труды составляют всего 60 стра­ниц, но они явились блистательным вкладом в развитие математики.

Юноша, страстно и неудержимо любивший эту науку, дважды пытался поступить в самое престижное учебное заведение Франции того времени – Политехническую школу – безуспешно. Начал учиться в привилегированной Высшей школе – отчислили из-за конфликта с директором. Став политическим заключенным после выступления против Луи-Филиппа, передал из тюрьмы в Парижскую академию наук рукопись с исследованием решения уравнения в радикалах. Академия отвергла эту работу. Нелепая смерть на дуэли оборвала жизнь этого незаурядного человека.

Множество, являющееся разностью множеств действительных и алгебраических чисел, называют множеством ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ЧИСЕЛ. Очевидно, каждое трансцендентное число не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами.

Вместе с тем, доказательство трансцендентности каких-либо отдельных чисел вызывало огромные трудности.

Лишь в 1882 году профессор Кенигсбергского университета Ф. Линдеман сумел доказать трансцендентность числа , откуда стала ясна невозможность решения задачи о квадратуре круга (построить с помощью циркуля и линейки квадрат, имеющий площадь данного круга). Мы видим, что идеи алгебры, анализа, геометрии взаимно проникают друг в друга.

Аксиоматическое введение действительных чисел далеко не единственное. Эти числа могут быть введены путем объединения множества рациональных и иррациональных чисел, или же, как бесконечные десятичные дроби, или с помощью сечений на множестве рациональных чисел.

^*1) Этот материал взят из 7-ой главы книги:

Л.И. Лурье ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ / Учебное пособие / М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К^о», - 2003, - 517 С.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 2919 | Нарушение авторских прав