Аксиома полноты (непрерывности)
15. Если непустые множества А и В действительных чисел таковы, что для любых и выполняется неравенство a < b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.
Аксиома полноты справедлива только в R.
Можно доказать, что между любыми не равными рациональными числами всегда можно вставить не равное им рациональное число.
Из данных выше аксиом можно вывести единственность нуля и единицы, существование и единственность разности и частного. Отметим, дополнительно, свойства неравенств, которые широко используются в различных преобразованиях:
1. Если a < b, с < d, то a+c < b+d.
2. Если a < b, то –a > –b.
3. Если a > 0, b < 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab > 0. (Последнее верно и при a > 0, b > 0.)
4. Если 0 < a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd.
5. Если a < b, c > 0, то ac < bc, а если a < b, c < 0, то bc < ac.
6. Если 0 < a < b, то .
7. 0 < 1, то – 1 < 0.
8. Для любых положительных чисел а и b найдется такое число nÎ N, что na > b (аксиома Архимеда, для отрезков длины a, b, na).
Используются следующие обозначения числовых множеств:
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
I – множество иррациональных чисел;
R – множество действительных чисел;
R+ –множество действительных положительных чисел;
R _ – множество действительных отрицательных чисел;
R0 – множество действительных неотрицательных чисел;
С – множество комплексных чисел (определение и свойства этого множества рассматриваются в разделе 1.1).
Введем на множестве действительных чисел понятие ограниченности. Оно далее будет активно использоваться в рассуждениях.
Будем называть множество ОГРАНИЧЕННЫМ СВЕРХУ (СНИЗУ), если существует такое действительное число М ( m ), что любой элемент удовлетворяет неравенству :
Число Mназывается ВЕРХНЕЙГРАНью МНОЖЕСТВАA, а число m – НИЖНЕЙ ГРАНью этого множества.
Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.
Множество N натуральных чисел ограничено снизу, но не ограничено сверху. Множество целых чисел Z не ограничено ни снизу, ни сверху.
Если рассмотреть множество площадей произвольных треугольников, вписанных в круг диаметра D, то снизу оно ограничено нулем, а сверху – площадью любого многоугольника, включающего в себя круг (в частности, площадью описанного квадрата, равной D 2).
Любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечно много верхних (нижних) граней. Тогда, есть ли наименьшая из всех верхних границ и наибольшая из всех нижних границ?
Будем называть число точной верхней гранью ограниченного сверху множества А Ì R, если:
1. является одной из верхних граней множества А;
2. является наименьшей из верхних граней множества А. Другими словами, действительное число является точной верхней гранью множества А Ì R, если:
Принято обозначение
Аналогично вводятся: – точная нижняя грань ограниченного снизу множества А и соответствующие обозначения
По-латыни: supremum – наивысшее, infimum – наинизшее.
Точные грани множества могут ему как принадлежать, так и не принадлежать.
Запишите определение точной нижней грани с помощью логических символов.
| ТЕОРЕМА. Ограниченное сверху (снизу) непустое множество действительных чисел очную верхнюю (нижнюю) грань.
Эту теорему мы примем без доказательства. Например, если , то верхней границей можно считать число 100, нижней –10, а . Если же , то . Во втором примере точные границы данному множеству не принадлежат.
На множестве действительных чисел можно выделить два непересекающихся подмножества алгебраических и трансцендентных чисел.
АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ЧИСЛАМИ называются числа, которые являются корнями многочлена
коэффициенты которого – целые числа.
В высшей алгебре доказывается, что множество комплексных корней многочлена конечно и равно n. (Комплексные числа являются обобщением действительных). Множество алгебраических чисел счётно. Оно включает в себя все рациональные числа, так как числа вида
удовлетворяют уравнению
Творчеству полезны тупики: боли и бессилия ожог разуму и страху вопреки душу вынуждают на прыжок. Игорь Губерман
| Доказано также, что существуют алгебраические числа, не являющиеся радикалами из рациональных чисел. Этот очень важный результат остановил бесплодные попытки найти решения уравнений степени выше четвертой в радикалах. Многовековые поиски алгебраистов, изучавших эту проблему, сумел обобщить французский математик Э. Галуа, нелепо погибший в возрасте 21 года. Его научные труды составляют всего 60 страниц, но они явились блистательным вкладом в развитие математики.
Юноша, страстно и неудержимо любивший эту науку, дважды пытался поступить в самое престижное учебное заведение Франции того времени – Политехническую школу – безуспешно. Начал учиться в привилегированной Высшей школе – отчислили из-за конфликта с директором. Став политическим заключенным после выступления против Луи-Филиппа, передал из тюрьмы в Парижскую академию наук рукопись с исследованием решения уравнения в радикалах. Академия отвергла эту работу. Нелепая смерть на дуэли оборвала жизнь этого незаурядного человека.
Множество, являющееся разностью множеств действительных и алгебраических чисел, называют множеством ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ЧИСЕЛ. Очевидно, каждое трансцендентное число не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами.
Вместе с тем, доказательство трансцендентности каких-либо отдельных чисел вызывало огромные трудности.
Лишь в 1882 году профессор Кенигсбергского университета Ф. Линдеман сумел доказать трансцендентность числа , откуда стала ясна невозможность решения задачи о квадратуре круга (построить с помощью циркуля и линейки квадрат, имеющий площадь данного круга). Мы видим, что идеи алгебры, анализа, геометрии взаимно проникают друг в друга.
Аксиоматическое введение действительных чисел далеко не единственное. Эти числа могут быть введены путем объединения множества рациональных и иррациональных чисел, или же, как бесконечные десятичные дроби, или с помощью сечений на множестве рациональных чисел.
*1) Этот материал взят из 7-ой главы книги:
Л.И. Лурье ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ / Учебное пособие / М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», - 2003, - 517 С.
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 3045 | Нарушение авторских прав
|