АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

О понятии множества

Теория множеств – основа построения математики. Путь к понятию “множество” проходил через развитие представлений о числе, более глубокое понимание понятия бесконечности. Создатели теории множеств – чешский математик С.Больцано и немецкий ученый Г.Кантор не только разработали новую теорию, но и определили ее место как основополагающей в системе математических знаний.

Множество – понятие неопределяемое, оно не может быть введено через другие понятия.

Под множеством понимается некоторая совокупность объектов, объединенных общим признаком (свойством) и рассматриваемых как одно целое. Этот общий признак называется характеристическим.

Теорию множеств Кантора считают “наивной”, потому что ее исходные положения основываются не на строгих определениях и аксиомах, а лишь на пояснениях. Вместе с тем, на практике она используется активно.

Элементы множества могут иметь произвольную природу, не обязательно числовую. Например:

– множество людей, гуляющих в парке;

– множество капель дождя;

– множество массивов, используемых в программе для ЭВМ;

– множество натуральных чисел на отрезке [ -1;4 ].

Множества обозначаются обычно заглавными латинскими буквами: A, B, C – и так далее, а их элементы – строчными: a, b, c,....

Множество может быть задано через перечисление его элементов. Например, запись

означает, что множество А состоит из элементов .

Во многих задачах выделяют некоторое свойство F элементов x множества X такое, что каждый элемент либо обладает этим свойством, либо нет. Приняты обозначения:

или ,

F (x) – «характеристический предикат», задающий свойство элементов или формулами, или описанием «элементами языка», вертикальную черту в скобках читают «… такое …, что …», Î - «принадлежит».

Например, запись

определяет множество «таких значений x, что ».

Принадлежность элемента а множеству А задается обозначением

.

Отрицание этого факта обозначается следующим образом:

или .

Вводится в рассмотрение также ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО, оно, по определению, не содержит элементов. Обозначается оно .

Принято считать, что пустое множество, , введено в математике для удобства и единообразия языка и является подмножеством любого множества. Так, если при исследовании множества объектов, обладающих определенным свойством, выясняется, что такие объекты не существуют, то удобно сказать, что “исследуемое множество пустое”, множество , а не объявлять его “несуществующим”.

Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является элементом множества B и, обратно, каждый элемент множества В является элементом множества А. Принято обозначение:

А = В.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. В таком случае записывают:

А Í В.

Если А Í В, но А ¹ В, то А называют собственным подмножеством множества В и обозначают

А Ì В.

Например, пусть ; и . В этом случае А Ì В и является его собственным подмножеством. Кроме того, А Ì C. Однако В не принадлежит С. Это записывается в виде:

.

Очевидно, что, если А Í В и B Í A, то A=B.

Множества делятся на КОНЕЧНЫЕ и БЕСКОНЕЧНЫЕ в зависимости от того, является ли число элементов, входящих в их состав, конечным или же бесконечным. Например, множество участников соревнования конечно, а множество точек, лежащих в круге, бесконечно.

Во многих математических науках чаще всего изучаются ЧИСЛОВЫЕ множества, элементы которых – числа.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 475 | Нарушение авторских прав