АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Числовые множества

На всех этапах развития математики представления о числе определяли уровень значимости математических знаний. Глубокое проникновение в теорию числовых множеств сочеталось с мистическим и наивным пониманием их свойств. Многие достижения теории чисел появлялись как дерзкие догадки человеческой мысли.

Представление о числе существовало еще в далекой древности, но лишь в XIX веке эти знания стали формироваться в строгую научную теорию.

Еще пифагорийцы в VI–V веках до н. э. при измерении геометрических величин столкнулись с недостаточностью рациональных чисел при решении некоторых задач. По этой причине действия производились над геометрическими величинами, а не над выражающими их числами. Первые попытки введения иррациональных чисел были предприняты в VI веке до н.э. греческими математиками Теэтетом и Евдоксом, позже – в “Началах” Евклида. Лишь спустя полтора тысячелетия арабский математик и поэт Омар Хайям внес новый вклад в понимание иррациональности. Чтобы освободить алгебру от геометрической формы, требовалось создать общее представление о числах и действиях над ними, не основанное на геометрии.

Понятие действительного числа появилось в математике не сразу. Многие задачи теории действительных чисел имеют очень давнюю историю. Проблемы, возникавшие при изучении различных числовых множеств, появлялись спонтанно, обособленно, предопределяя порой решение смежных вопросов. Но глубокое понимание этих проблем возникло, пожалуй, позже создания самого математического анализа, основанного на теории действительных чисел.

Потребности счета пред­метов привели к появлению множества натура-льных чисел

.

Далее практическая деятельность расширила понятие числа. Возникли целые числа

и рациональные числа

,

где

Будем считать, что дробь

несократима, в разложениях m и n нет общих множителей. Это позволяет добиться однозначности в записи рациональных чисел.

Введение рациональных чисел оказалось еще недостаточным для решения некоторых задач. Например, диагональ квадрата со стороной, равной 1, не может быть представлена рациональным числом. Появились новые числа – иррациональные. Уже Аристотель пытался доказать, что – число иррациональное. Совокупность рациональных и иррациональных чисел образует множество R – это МНОЖЕСТВО действительных чисел. Их называют еще ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ. В математике рассматриваются различные, эквивалентные, способы введения действительных чисел. Мы определим их как бесконечные десятичные дроби вида

,

где – некоторое целое неотрицательное число, – цифры 0, 1, 2,..., 9. Из двух знаков “ ± ” берется только один: для положительных чисел – знак “ + ”, для отрицательных чисел – знак “–”. Знак “ + ” обычно опускают

Рациональные числа представимы в виде бесконечных десятичных периодических дробей, иррациональные – в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Некоторые рациональные числа являются конечными десятичными дробями, однако они могут быть заданы и в виде бесконечных десятичных дробей с нулем в периоде или же в виде бесконечной десятичной дроби с цифрой 9 в периоде.

Например,

или

.

Действительные числа и называются равными в одном из следующих случаев:

1.

2.

и (при равенство с индексом следует опустить).

В противном случае считают .

Сравним неравные между собой числа. Здесь возможны три случая.

1. a и b – неотрицательны. При всегда найдется такое натуральное n (или n=0), что и . Будем считать, что a > b, если a_n > b_n, и a < b, если a_n < b_n.

2. a – неотрицательно, b – отрицательно. Тогда будем считать a > b.

3. a и b – отрицательны. Будем считать, что a > b, если |a| < |b|, и a<b, если |a|>|b|.

Запись означает, что либо , либо .

Множество действительных чисел R можно изобразить точками числовой прямой, на которой выбрано начало отсчета O, масштаб и положительная ориентация: точке М, лежащей справа от точки О, поставим в соответствие число c > 0, равное длине отрезка ОМ, точке Р, расположенной слева от точки О, – число d < 0, где | d | – длина отрезка ОР, а точке О – число 0. Примем без доказательства, что между точками прямой и множеством действительных чисел существует взаимно однозначное соответствие. Вот почему множество действительных чисел называют числовой прямой, а сами числа – точками. Таким образом, – множество всех действительных чисел (числовая прямая).

Напомним уже известную терминологию:

– отрезок (сегмент) – множество всех действительных чисел x, удовлетворяющих неравенству ;

– интервал – множество всех действительных значений x, удовлетворяющих неравенству ;

или – полуинтервал (полусегмент) – множество всех действительных чисел x, удовлетворяющих неравенству или ; ясно, что

– полупрямые – мно­жества действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам:

Для них верно:

Отрезок, интервал, полуинтервал, полупрямую и числовую прямую будем называть промежутками.

Рассматривают в математическом анализе также окрестность точки c как любой интервал, содержащий точку с, и e –ок­рестность точки с (e > 0) – интервал . e –окрест­ность может быть задана в виде множества . Читают: «Множество состоит из таких элементов х, что модуль разности (х – с), для них, меньше ε».

Множество = будем называть проколотой e –окрестностью точки с. Это есть интервал , из которого исключена точка с.

На множестве действительных чисел вводятся основные операции – сложения и умножения, а также отношения между действительными числами – отношения порядка, обладающие следующими свойствами.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 651 | Нарушение авторских прав