Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Операции над множествами. Определение 1. Объединением множеств и называется множество , состоящее из тех и только тех элементов

Прочитайте:

Определение 1. Объединением множеств и называется множество , состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или .

Используя логическую символику, объединение двух множеств можно записать так:

Примеры.

1) , , .

2) , , .

3) , .

Определение 2. Пересечением множеств и называется множество , состоящее из элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству .

Используя логическую символику, можно записать

Если , то говорят, что множества и не пересекаются.

Примеры.

1) , , .

2) , , .

3) , .

Операции объединения и пересечения обладают следующими свойствами:

1. Коммутативности:

а) ; б) .

2. Ассоциативности:

а) ; б) .

3. Дистрибутивности:

а) ;

б) .

4. а) ; б) .

5. Если , то а) ; б) .

6. а) ; б) .

Доказательство свойства 3а)

Пусть и и , либо и либо , либо

. (*)

Обратно, пусть либо , либо или и , или и либо либо , и и

. (**)

Из условий (*), (**) следует справедливость равенства 3а), т.е.

Упражнение. Доказать самостоятельно свойства 3б), 5, 6.

Понятия объединения и пересечения двух множеств обобщаются на случай произвольного числа множеств.

Пусть – множество индексов и каждому индексу сопоставлено множество . Множество , элементами которого являются множества , называют системой или семейством множеств.

Определение 3. Объединением системы множеств , называется множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств системы и обозначается

Пример. .

Определение 4. Пересечением системы множеств , называется множество всех элементов, содержащихся в каждом множестве системы и обозначается

Пример. .

Определение 5. Разностью множеств и называется множество, состоящее из тех элементов , которые не входят в : .

Если , то разность называется дополнением множества в .

Часто приходится рассматривать тот или иной запас множеств, являющихся подмножествами некоторого основного множества (будем называть его универсальным). В этом случае называется просто дополнением множества и обозначается .