Композиция отображений
Определение. Пусть заданы два отображения
: , :
причем . Тогда определена композиция: : отображений и равенством .
Композиция является отображением, так как однозначно определен элемент , , и, следовательно, однозначно определен элемент .
Примеры.
1. : , .
, .
Проверим, определены ли композиции и .
В виду того, что , то композиция определена
, .
В силу того, что не является подмножеством множества , являющегося областью определения функции , то композиция не определена.
2. Пусть заданы два отображения и
Здесь , поэтому композиция определена. Отображение переводит элемент в элемент , отображение переводит элемент в элемент , поэтому, аналогично , , .
Теорема. Операция композиции отображений ассоциативна, т.е. если , , , то
. (1)
Доказательство. Отметим, что отображения и определены (проверить самостоятельно). Далее, равенство (1) означает, что
.
Мы получили тождество, поэтому (1) доказано. Равенство (1) означает, что в выражении скобки можно расставлять произвольно.
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 552 | Нарушение авторских прав
|