Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Инъективные, сюръективные отображения

Прочитайте:

Определение 1. Отображение : называется инъективным или инъекцией, если два различных элемента из множества имеют образами при отображении два различных элемента из множества , т.е.

, .

Например, отображение : приведенное на следующей схеме

является инъекцией множества в множество . Здесь .

Определение 2. Отображение : называется сюръективным или сюръекцией, если каждый элемент из множества является образом при отображении по крайней мере одного элемента из , т.е.

такой, что , т.е. .

Сюръективное отображение – это отображение множества на множество .

Например, отображение :

является сюръективным, а отображение :

не является сюръективным.

Если при отображении : , то отображение - сюръективное.

Теорема. Отображение : биективно тогда и только тогда, когда оно инъективно и сюръективно одновременно.

Доказательство. Пусть : - биективно. Тогда каждый элемент является образом при отображении некоторого элемента , следовательно, отображение - сюръективно. А так как этот элемент - единственный, то из этого следует, что разным элементам соответствуют разные образы, т.е. отображение инъективно.

Обратно, пусть : - инъективно и сюръективно одновременно. Тогда в силу сюръекции , а ввиду инъективности отображения содержит единственный элемент.

Примеры.

1. ,

Отображение не сюръективно, т.к. элемент не является образом ни одного элемента из . Оно не является и инъективным, т.к. два различных элемента и имеют образом один и тот же элемент .