Обратимые и обратные отображения
Определение 1. Отображение : называется взаимнооднозначным соответствием или биекцией, если прообраз любого элемента состоит только из одного элемента . Равносильное условие: для любого уравнение имеет только одно решение .
Например, отображение
является биективным.
Определение 2. Отображение : называется обратимым, если существует отображение : , такое, что
, ,
где , ,
, .
Отображение называется обратным к .
Теорема (равносильность условий биективности и обратимости). Отображение обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно.
Доказательство. Пусть отображение биективно, тогда прообраз любого элемента состоит только из одного элемента . Тем самым определено некоторое отображение : . Покажем, что , .
, т.е.
, т.е. .
Таким образом, отображение обратимо.
Обратно, пусть отображение - обратимо, т.е. существует отображение и , .
Применим к уравнению отображение :
или .
В силу обратимости отображения имеем
.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение и, следовательно, - биекция.
Отметим, что если : обратная к , то функция : является обратной к . Поэтому функции и называются взаимнообратными.
Примеры.
1. Рассмотрим , , где .
Для уравнение имеет единственное решение , поэтому обратимо и определяется равенством
.
2. Покажем, что отображение , не обратимо.
Действительно, уравнение имеет два решения , . Поэтому отображение не обратимо.
3. Отображение , не обратимо, так как уравнение не имеет решений.
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 591 | Нарушение авторских прав
|