АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Операции над множествами

Введем операции над множествами и установим некоторую аналогию с операциями над другими математическими объектами, например, высказываниями.

Операции над множествами и их свойства во многом аналогичны алгебре высказываний. Это, как отмечалось, отражает единство математической науки и, благодаря использованию метода математического моделирования, позволяет находить ее связь с различными областями знаний.

ОБЪЕДИНЕНИЕМ множеств A и B называется множество , содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.

Схематично эта операция изображена на рис. 7.1. с помощью кругов Эйлера.

Рис. 7.1. Объединение множеств .

Важно, что каждый элемент из множеств A и B включаются в их объединение , без повторений, только один раз, даже при их наличии одновременно и в A, и в B.

Эта операция удовлетворяет коммутативному и ассоциативному законам:

Очевидны соотношения:

Множество E называется УНИВЕРСАЛЬНЫМ для некоторой системы множеств, если каждое из них принадлежит этому множеству, то есть является его подмножеством. Его, часто, обозначают U.

Можно считать поэтому, что

Важно заметить, что универсальное множество Е может быть «индивидуальным» для каждой отдельной задачи, то есть определяться её условием. Например, при решении линейной задачи nx = m, где n Î N – множество натуральных чисел и m Î Z – множество целых чисел, то x = m/n Î Q – множество рациональных чисел. Следовательно все элементы из этой задачи принадлежат универсальному множеству Е ≡ Q, так как N Ì Z Ì Q Í E.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕМ множеств A и B называется множество , содержащее те и только те элементы, которые принадлежат и A, и B одновременно.

Схематично операция пересечения множеств представима в виде (рис. 7.2).

Для этой операции также справедливы коммутативный и ассоциативный законы:

;

Множества A и B называются НЕПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯ, если

Операции объединения и пересечения множеств подчиняются законам дистрибутивности (распределительным законам):

;

.

Рис. 7.2. Пересечение множеств .

РАЗНОСТЬЮдвух множеств A и B называется множество A\B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат A, но не принадлежат B.

Рис. 7.3. Разность множеств .

Результаты применения этой операции изображены на рис. 7.3.

ДОПОЛНЕНИЕМ множества A до универсального множества Eназывается разность E \ A и обозначается (рис. 7.4). Этот рисунок является простейшей диаграммой Вена, включающей и универсальное множество Е, и его подмножества A и : Е = A U .

Рис. 7.4. Дополнение множества А до универсального множества Е: .

 

Дайте им геометрическую трактовку.

Cправедливы соотношения:

Какие аналогии можно установить между операциями над множествами и, например, логическими операциями?

1. .

2. .

3. .

Интерпретируйте логи-ческими высказываниями эти соотношения.

4. .

5. .

Предложите аналоги на языке множеств для известных Вам логических тавтологий.

6. .

7. .

Числом будем обозначать количество элементов множества A, если оно конечно. Его называют мощностью множества A (см. ниже).

Для конечных множеств A и B справедлива формула:

(7. 1)

Действительно, если множества A и B не пересекаются, то , его мощность , и поэтому верно . Если множества A и B пересекаются, то количество элементов в объединении множеств складывается из элементов множеств A и B, без повторений. Но так как элементы, находящиеся в пересечении множеств , учитываются в m (A) + m (B) дважды (рис. 7.5), справедливо равенство (7.1).

Конкретный пример указан на рис. 7.5.

Рис. 7.5. Общие элементы в объединении конечных пересекающихся множеств.

Если множества конечны, то сравнение числа их элементов может быть уподоблено сравнению натуральных чисел. Труднее сравнить множества бесконечные. Чего больше: натуральных чисел или действительных, точек отрезка или точек квадрата, построенного на нем? Очевидно, что часть меньше целого. Но будет ли это “очевидное” сохраняться, когда мы имеем дело с бесконечными множествами? Изучение феноменов «бесконечного» породило принципиально новые оценки множеств.

---

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 543 | Нарушение авторских прав

---

Предыдущая1234567891011Следующая

---