Односторонние пределы
Определение 1 (Гейне). Число А называется правым пределом функции в точке (или пределом функции в точке справа), если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к и такой, что , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.
Определение 2 (Коши). Число А называется правым пределом функции в точке (или пределом функции в точке справа), если для любого найдется , такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Пишут: , а если , то , или, короче, и .
Совершенно аналогично даются определения односторонних пределов слева. Пишут: или .
Пример 1. Пусть Тогда , , поэтому не существует.
Имеет место
Теорема 1. Для того чтобы функция имела предел в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке равные односторонние пределы. При этом
.
Это достаточно очевидно.
Введем теперь понятие предела функции на бесконечности.
Определение 3 (Гейне). Число А называется пределомфункции при , если для любой бесконечно большой последовательности последовательность значений сходится к числу А.
Определение 4 (Коши). Число А называется пределомфункции при , если для любого найдется , такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Пишут: .
Докажем, например, что . Пусть – произвольная бесконечно большая последовательность. Тогда, как известно, – бесконечно малая последовательность, поэтому по определению 3.
Аналогично теореме 1 § 13 можно доказать эквивалентность определений 3 и 4. Справедлив также критерий Коши существования предела функции, когда .
Подобным же образом определяются пределы функции при и по Коши и по Гейне.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 580 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|