Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Точки разрыва функции, их классификация

Прочитайте:

Определение 1. Пусть функция определена на промежутке Х и . Функция называется непрерывной в точке , если

. (18.1)

Равенство (18.1) можно записать иначе: , то есть для непрерывной функции знаки предела и функции можно поменять местами.

Очевидно, что о непрерывности функции можно говорить лишь по отношению к тем точкам , в которых функция определена, то есть существует .

Пользуясь двумя определениями предела функции, можно дать определения непрерывности функции на языке последовательностей и на языке .

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента х, сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится к .

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если для любого найдется , такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Определения 2 и 3 эквивалентны в силу теоремы 1 § 13.

Дадим еще одно определение непрерывности функции в точке – на языке приращений. Для этого положим и назовем эту величину приращением аргумента х, а – приращением функции в точке .

Определение 4. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть .

Последнее условие означает, что , или , или , то есть определение 4 равносильно определению 1, а значит и определениям 2 и 3.

Определение 5. Функция называется непрерывной в точке справа (слева), если ().

Теорема 1. Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке одновременно и справа, и слева.

Доказательство. Поскольку существует тогда и только тогда, когда существуют и равны односторонние пределы и , причем = = = , то тогда и только тогда, когда = = . Теорема доказана.

Определение 6. Функция называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Если , то при этом подразумевается непрерывность в точке справа, а в точке – слева.

Теорема 2. Если функции и непрерывны в точке , то функции тоже непрерывны в точке . Если, кроме того, , то и функция непрерывна в точке .

Доказательство. Следует из теоремы 1 § 15 и определения 1 непрерывности функции в точке. Например, , что и означает непрерывность функций в точке . Остальные случаи рассматриваются аналогично. Теорема доказана.

Теорема 3 (о непрерывности сложной функции). Пусть и пусть существует окрестность точки , в которой определена сложная функция. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство. В указанной в условии теоремы окрестности возьмем любую последовательность точек , сходящуюся к точке , и пусть . Тогда, в силу непрерывности в точке , , то есть последовательность точек сходится к точке . Поэтому, в силу непрерывности в точке , , то есть .

Теорема доказана.

Определение 7. Точка называется точкой разрыва функции , если определена в некоторой проколотой окрестности точки и не выполняется условие

В этом случае говорят также, что функция является разрывной в точке , или терпит разрыв в точке , или имеет разрыв в точке .

Различают три типа точек разрыва.

1) Устранимый разрыв.

Определение 8. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если существует конечный , но либо функция не определена в точке , либо .

Пример 1. Функция имеет устранимый разрыв в точке ,

так как . Этот разрыв можно устранить, изменив значение функции в точке и положив .

Вообще, если в точке функция имеет устранимый разрыв, то достаточно положить , чтобы функция стала непрерывной в точке . Иными словами, для восстановления непрерывности в точке надо изменить значение в этой точке, если , или доопределить в точке , если .

2) Разрыв 1-го рода.

Определение 9. Точка называется точкой разрыва 1- го рода функции , если существуют конечные односторонние пределы и , но . Разность называют величиной скачка в точке .

Пример 2. Пусть Тогда = –1, . и конечны, но не равны, поэтому точка – точка разрыва 1-го рода. Величина скачка равна – = –1 – 0 = –1.

3) Разрыв 2-го рода.

Определение 10. Точка называется точкой разрыва 2- го рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов и не существует или бесконечен.

Пример 3. Пусть . Поскольку , точка – точка разрыва 2-го рода.

Заметим, что , то есть бесконечен один односторонний предел .

Пример 4. Пусть . Тогда не существует, поэтому – точка разрыва 2-го рода.

При исследовании функций на непрерывность полезна

Теорема 4. Любая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Без доказательства.

Напомним, что элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и композиций основных элементарных функций и постоянных, а основными элементарными функциями являются степенная , показательная , логарифмическая , тригонометрические , обратные тригонометрические функции .

Пример 5. Исследуем на непрерывность, непрерывность слева и справа, установим тип точек разрыва функции

Решение. Заметим, что . Поскольку функция не определена при и при , можно говорить только о непрерывности справа в точке и о непрерывности слева в точке . Имеем

функция непрерывна справа в точке ;

функция непрерывна слева в точке .

Если , то – непрерывна как элементарная функция по теореме 4. Поскольку , то в точке функция имеет разрыв 2 рода, причем она имеет разрыв 2 рода в этой точке и слева, и справа.

Если , то – непрерывна как элементарная функция.

Если , то , , , т. е.

существует , поэтому функция непрерывна в точке .

Если , то , , , т.е. в точке односторонние пределы существуют, но не равны, поэтому в этой точке функция имеет разрыв 1 рода, величина скачка равна 1. Поскольку , то функция в точке непрерывна слева.

Таким образом, функция непрерывна на множестве , непрерывна справа в точке , непрерывна слева в точках и , имеет разрыв 2 рода в точке и разрыв 1 рода в точке , величина скачка в этой точке равна 1.

Теорема 5 (о точках разрыва монотонной функции). Если функция монотонна на интервале , точка является точкой разрыва , то с – точка разрыва 1-го рода.