Равномерная непрерывность функций
В определении непрерывности функции в точке зависит, вообще говоря, не только от , но и от точки, т.е. Такая ситуация имеет место в случае произвольной функции , т.е. в общем случае. Если же наложить на функцию некоторые условия, о которых речь пойдет дальше, то и от точки не зависит. В этом случае мы получаем равномерно непрерывную на промежутке функцию.
Определение 1. Функция , заданная на некотором промежутке Х, называется равномерно непрерывной на этом промежутке, если для любого найдется такое , что неравенство выполняется для любой пары точек , удовлетворяющих неравенству .
Теорема Кантора. Если функция непрерывна на отрезке , то она и равномерно непрерывна на этом отрезке.
Георг Кантор (1845-1918) – немецкий математик, основатель современной теории множеств.
Доказательство. Предположим противное, т.е. что непрерывна на отрезке ,
но не является на нем равномерно непрерывной. Это значит, что существует такое, что при любом можно подобрать пару точек , таких, что и .
Возьмем последовательность значений , сходящуюся к нулю: .
Для найдутся такие точки , что , но .
Для найдутся такие точки , что , но .
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
Для найдутся такие точки , что , но .
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
В результате из отрезка выделятся две ограниченные последовательности
, (20.1)
. (20.2)
Из последовательности (20.1) по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Чтобы не вводить новых обозначений, будем считать, что уже сама последовательность (20.1) сходится к некоторой точке . Покажем, что тогда последовательность (20.2) тоже сходится к . Действительно, поскольку ,имеем при .
По условию непрерывна в точке . Следовательно, , поэтому , а это противоречит тому, что >0 для всех значений n. Полученное противоречие доказывает теорему.
Установим теперь факт, который будет нам нужен в интегральном исчислении.
Определение 2. Если функция определена и ограничена на отрезке , то разность между ее точными границами на этом отрезке называется колебанием функции на , т.е. колебание , где , .
Следствие из теоремы Кантора. Если функция определена и непрерывна на отрезке , то по заданному можно разбить этот отрезок на конечное число частей так, что на каждой из частей колебание функции не будет превышать .
Доказательство. По теореме Кантора функция равномерно непрерывна на . Поэтому по заданному найдется такое, что для любых точек , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Если отрезок разбить на такие части, чтобы длина каждой из них была меньше , то на каждой из отдельно взятых частей разность значений функции в любых двух точках по абсолютной величине будет меньше . В частности, это справедливо и для разности между наибольшим и наименьшим значениями функции на каждой из частей, которая и составляет колебание непрерывной функции на этой части. Следствие доказано.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 816 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|