АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Прочитайте:
  1. А. Свойства и виды рецепторов. Взаимодействие рецепторов с ферментами и ионными каналами
  2. Абразивные материалы и инструменты для препарирования зубов. Свойства, применение.
  3. Адгезивные системы. Классификация. Состав. Свойства. Методика работы. Современные взгляды на протравливание. Световая аппаратура для полимеризации, правила работы.
  4. Аденовирусы, морфология, культуральные, биологические свойства, серологическая классификация. Механизмы патогенеза, лабораторная диагностика аденовирусных инфекций.
  5. Альгинатные оттискные массы. Состав, свойства, показания к применению.
  6. Анатомия и гистология сердца. Круги кровообращения. Физиологические свойства сердечной мышцы. Фазовый анализ одиночного цикла сердечной деятельности
  7. Антигенные свойства
  8. Антитела (иммуноглобулины): структура, свойства. Классификация антител: классы, субклассы, изотипы, аллотипы, идиотипы. Закономерности биосинтеза.
  9. Антитела (строение, свойства, функции антител, феномены взаимодействия антител и антигенов).
  10. Атмосфера земли, ее структура и свойства. Природный физический и химический состав атмосферного воздуха. Физиолого-гигиеническое значение его составных компонентов.

Первая теорема Больцано-Коши. Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Тогда в интервале

найдется точка с, в которой функция обращается в нуль, то есть .

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси Ох на другую, то она пересекает эту ось.

  Бернгард Больцано (1781-1848) – чешский философ и математик, доказал теорему в 1817 году. Огюстен Луи Коши (1789-1857) – знаменитый французский математик, доказал теорему независимо от Больцано в 1821 году. Этим ученым, особенно Коши, принадлежит заслуга обоснования математического анализа.
x
b
у = f (x)
с
а
О
у
Доказательство. Предположим для определенности, что . Обозначим отрезок через и разделим его пополам точкой . Если , то теорема доказана и , в противном случае через обозначим ту из половин отрезка , для которой .

Разделим отрезок пополам точкой . Если , то теорема доказана и , в противном случае через обозначим ту из половин отрезка , для которой .

Продолжим этот процесс построения промежутков. При этом либо мы после конечного числа шагов наткнемся в качестве точки деления на точку, в которой функция обращается в нуль, и доказательство теоремы завершится, либо получим бесконечную последовательность вложенных один в другой отрезков. Тогда для n -го отрезка имеем , причем длина его при . По принципу вложенных отрезков Кантора (см. теорему 3 § 6) существует единственная точка с, принадлежащая всем этим отрезкам. Это точка . В силу непрерывности функции в точке и . Переходя в неравенствах к пределу при , получим, что одновременно и , откуда . Теорема доказана.

Замечание. На доказанной теореме основан метод интервалов решения неравенств с одной переменной. Из теоремы следует, что функция, непрерывная на интервале и не равная нулю ни в одной его точке, сохраняет знак на этом интервале. Поэтому, если функция непрерывна в области своего определения, то точки, в которых она обращается в нуль, разбивают область ее определения на интервалы, в которых функция сохраняет знак. Для определения знака в интервале достаточно определить его в одной точке интервала. Объединение интервалов с требуемым знаком функции и является решением неравенства.

Пример 1. Решим неравенство .

Решение. Заметим, что функция непрерывна в области своего определения как элементарная функция. Она равна нулю в точках и . Поэтому сохраняет знак в интервалах . Знак функции в каждом интервале можно определить с помощью пробной точки. Получим следующее распределение знаков:

• •
+ – + – + –1 1 2 3

 

Записываем ответ: .

Вторая теорема Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает различные значения , то она принимает на этом отрезке любое значение , лежащее между и .

Доказательство. Пусть для определенности . Надо доказать, что найдется точка , такая, что .

Рассмотрим вспомогательную функцию . Эта функция непрерывна на отрезке как разность непрерывных функций, , т.е. на концах отрезка принимает значения разных знаков. По 1-й теореме Больцано-Коши найдется точка такая, что , т.е. или . Теорема доказана.

Замечания. 1) 1-я теорема Больцано-Коши является частным случаем 2-й теоремы Больцано-Коши, когда и имеют разные знаки, а .

2) 1-ю и 2-ю теоремы Больцано-Коши называют также теоремами о промежуточных значениях.

3) Теоремы Больцано-Коши могут быть использованы при решении уравнений.

Пример 2. Докажем, что уравнение имеет корень на отрезке .

Решение. Для функции имеем , поэтому по 1-й теореме Больцано-Коши найдется точка такая, что .

Значение корня можно найти и более точно. Поскольку ; и т.д.

1- я теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что функция не ограничена на отрезке . Разобьем этот отрезок пополам. Тогда хотя бы на одной из половин отрезка функция будет неограниченной, обозначим эту половину через . Отрезок разделим пополам, ту его половину, на которой функция не ограничена, обозначим через . Если функция не ограничена на обеих половинах отрезка, то можно выбрать любую из них, например, правую. Продолжая описанный процесс деления отрезков, получим стягивающуюся последовательность вложенных отрезков

,

на каждом из которых функция не ограничена. По принципу вложенных отрезков существует единственная точка с, принадлежащая всем этим отрезкам. Поскольку , функция непрерывна в этой точке, то есть . Поэтому существует окрестность , в которой функция ограничена. Так как длины отрезков стремятся к нулю, то при каком-то n длина отрезка станет меньше , то есть будет . Поскольку функция ограничена в окрестности , она ограничена и на отрезке , что противоречит построению этого отрезка. Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение о

◦ • • • ◦ с
неограниченности функции на отрезке неверно. Поэтому ограничена на . Теорема доказана.

 

Обозначим множество значений функции , непрерывной на отрезке , через . По доказанной теореме это множество ограничено. Поэтому оно имеет точную нижнюю границу и точную верхнюю границу . Функция не может принимать на значений, больших М и меньших m. Может ли принимать на значения М и m? Ответ дает

2- я теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своих точных нижней и верхней границ. Иными словами, найдутся точки , такие, что и .

Доказательство. Рассмотрим случай точной верхней границы. Предположим противное, то есть что . Введем вспомогательную функцию . На отрезке знаменатель в нуль не обращается, поэтому – непрерывная на функция как частное двух непрерывных функций. По 1-й теореме Вейерштрасса она ограничена, то есть существует число , такое, что . Тогда , то есть М не является точной верхней границей значений функции на отрезке , что противоречит условию. Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение неверно, то есть найдется точка , такая, .

Аналогично рассматривается случай точной нижней границы. Теорема доказана.

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке , то множеством ее значений является отрезок , где и М – точные границы значений функции.

Доказательство. Действительно, по 2-й теореме Вейерштрасса на , а по 2-й теореме Больцано-Коши любое число является значением функции в некоторой точке , то есть . Что и требовалось доказать.

Теорема (о существовании и непрерывности обратной функции). Пусть функция определена на отрезке , возрастает и непрерывна на этом отрезке. Тогда на отрезке существует обратная функция , которая возрастает и непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. В силу возрастания функции ее наименьшее значение равно , а наибольшее значение . По доказанному выше следствию совокупностью значений является отрезок . Тогда любому значению соответствует значение , такое, что , причем значение единственное в силу возрастания . Положим . Таким образом определена обратная функция , область определения которой – отрезок . Тем самым существование обратной функции доказано.

 

Докажем теперь, что функция возрастает. Пусть , , . Допустим, что . Тогда = = , что противоречит условию . Таким образом, – возрастающая функция. Докажем непрерывность обратной функции в любой точке . Возьмем произвольно. Надо показать, что найдется такое, что выполняется неравенство или, иначе,
у

f (b)

y = f (x)

 

f (a)

 

О а b х

 

выполняется неравенство .

Обозначим через . Тогда , , неравенство равносильно неравенству . В силу возрастания . Возьмем такое, что окрестность . Очевидно, что если , то , т.е. , что и доказывает непрерывность в точке . Поскольку – любая точка отрезка , функция непрерывна на отрезке . Теорема доказана.

Замечание. Аналогичная теорема верна и для непрерывных убывающих на отрезке функций. Утверждение остается верным и в случае, когда функция определена на бесконечном промежутке или не ограничена в области своего определения.

 


Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1093 | Нарушение авторских прав



1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |



При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.009 сек.)