Первый замечательный предел
Определение 1. Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .
Например, – бесконечно малая функция в окрестности точки , так как .
Теорема 1. Для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы имело место представление , где – бесконечно малая в окрестности точки функция.
Доказательство. Необходимость. Пусть . Положим .
Тогда – бесконечно малая в окрестности точки функция и .
Достаточность. Пусть , где – бесконечно малая в окрестности точки функция. Тогда . Теорема доказана.
Остановимся на сравнении бесконечно малых функций.
Определение 2. Говорят, что функции и являются эквивалентными бесконечно малыми в окрестности точки функциями, если .
Пишут: ~ при .
Определение 3. Говорят, что функции и являются в окрестности точки бесконечно малыми функциями одного порядка, если . Если же , то говорят, что является в окрестности точки бесконечно малой более высокого порядка, чем .
Покажем, что при .
Теорема 2 (первый замечательный предел). Справедливо равенство .
Доказательство. Построим единичный круг и центральный угол .
| | | | | | Видим, что
. (16.1)
Имеем
, (16.2)
, (16.3)
| | | | |
. (16.4)
Из (16.1)–(16.4) получаем
.
Разделив последнее неравенство на , получим
. (16.5)
Разделив на каждую из частей этого неравенства, имеем
. (16.6)
Поскольку (см. (16.5)) и , по
Теореме о промежуточной переменной , то есть . А так как
– функция четная, то . Поэтому
. (16.7)
Учитывая, что неравенство (16.6) сохраняется и для в силу четности всех входящих в него функций, из (16.7) и теоремы о промежуточной переменной получаем . Теорема доказана.
Установим теперь следствия первого замечательного предела. Покажем, что при . Имеем
при ;
при ;
при ;
при .
При раскрытии неопределенностей типа полезна
Теорема 3. Если – бесконечно малые функции в окрестности точки и , то
.
Доказательство. Имеем
. Теорема доказана.
Например, .
Замечание. В тех случаях, когда в числителе или знаменателе записана сумма, при раскрытии неопределенностей нельзя заменять отдельные слагаемые эквивалентными функциями, так как такая замена может привести к неверному результату. Например, в пределе нельзя заменить на и на х, так как получается выражение , не имеющее смысла. Правильно вычислять предел так:
.
Рассмотрим теперь бесконечно большие функции.
Определение 4. Если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к , то говорят, что функция имеет в точке бесконечный предел, а функцию называют бесконечно большой при . Пишут: .
Можно дать равносильное
Определение . Говорят, что функция имеет в точке бесконечный предел, если для любого числа найдется такое число , что для всех значений , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . В этом случае называется бесконечно большой функцией в точке .
Аналогично определяются соотношения , .
Сравнивают бесконечно большие функции так же, как и бесконечно малые функции.
Определение 5. Если и – бесконечно большие функции при и , то говорят, что – бесконечно большая более высокого порядка, чем . Говорят, что функции и имеют одинаковый порядок роста, если .
Например, для функций и , бесконечно больших при , имеем , поэтому функции и имеют одинаковый порядок роста.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 678 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|