Арифметические операции над функциями, имеющими предел
Теорема 1. Пусть функции и заданы на одном и том же множестве Х и имеют в точке пределы, равные соответственно а и b. Тогда
.
Доказательство. Пусть – произвольная сходящаяся к последовательность, . Тогда, в силу определения предела функции в точке по Гейне, и по свойствам сходящихся последовательностей ,
. Так как последовательность выбиралась
произвольно, то, в силу определения предела по Гейне, теорема доказана.
Аналогичные теоремы имеют место в случае, когда , , и для односторонних пределов.
Пример 1. С помощью теоремы 1 вычисляются следующие пределы:
– доказывается методом математической индукции, , при условии, что , .
Заметим, что для действительных функций имеют место теорема о промежуточной переменной и переход к пределу в неравенствах. Доказываются они с помощью соответствующих утверждений для последовательностей и определений предела по Гейне.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 924 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|