Второй замечательный предел и его следствия
Теорема 1 (2-й замечательный предел). Справедливо равенство , где .
Доказательство. Воспользуемся известным пределом . Докажем
сначала, что . Обозначим целую часть х через n: . Тогда и, следовательно, и . Из неравенств
и следует, что
.
Из неравенств и следует, что
.
Таким образом,
, где .
Поскольку ,
и при и , по теореме о промежуточной переменной имеем, что .
Рассмотрим теперь . Положим . Когда , то и
= = = = =
= = .
Таким образом, и . Значит, мы доказали, что . Теорема доказана.
Обозначим . Если , то и 2-й замечательный предел примет вид .
Следствия. 1) . В частности, .
2) . В частности, .
3) .
Доказательство. 1) .
При получаем частный случай.
2) Положим при . Отсюда . Поэтому
. При получаем частный случай.
3) Заметим, что , поэтому . Тогда . Следствия доказаны.
Из следствий имеем: при , .
Примеры.
1) .
2) .
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 880 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|