АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Задачи на взаимопринадлежность.

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Позиционные задачи.

Позиционными задачами называются задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур друг относительно друга. К таким задачам, в частности, относятся задачи на взаимопринадлежность и задачи на пересечение. При решении позиционных задач важно представлять себе пространственное расположение геометрических фигур относительно плоскостей, проекций и друг относительно друга.

Ниже приведены решения типовых позиционных задач. Теоретической базой для решения этих задач служат материалы главы 1.

Задачи на взаимопринадлежность.

К задачам на взаимопринадлежность относятся взятие точки на линии или на поверхности, проведение линии на поверхности или поверхности через данные линии и т.д. При решении задач мы будем рассматривать простейшие геометрические фигуры: точки, прямые линии, плоскости.

Задача 3.1

По заданным координатам (табл3.1). Построить проекции точек А,В,С,Д,Е,К. Определить:

1. Какие точки лежат на плоскостях проекции?

2. Какая точка лежит на оси координат?

1. Какая точка находится выше всех остальных, т.е. наиболее удалена от плоскости p₁?

2. Какая точка наиболее удалена от плоскости p₂?

Таблица 3.1

Решение

Построение проекций точек проиллюстрируем на примере точки “К”.

По оси X откладываем координату X _к=40 (рис.3.1) и проводим через полученную точку X _к вертикальную линию связи, на которой откладываем вниз (вдоль оси Y) отрезок Y _K=10, получаем проекцию K ₁. Отложив от точки K _x вверх (вдоль оси Z) координату K _z=80, получаем проекцию K ₂.

Аналогично строим проекции остальных точек (рис.3.2).

Анализируя положения точек в пространстве, можно ответить на остальные вопросы задачи.

1) Точка D лежит на плоскости p ₂, т.к. ее координата Y _d=0. Точка С лежит на плоскости p ₂, т.к. ее координата Y _d=0. Точка С лежит на плоскости p ₃, т.к. X _c=0;

2) Точка Е лежит на оси X, т.к. у этой точки координаты Y _е и Z _е равны нулю. Тогда две проекции этой точки находятся на оси X;

3)
Выше всех точек находится точка K, у нее наибольшая координата по оси Z (Z _к);

4) Наиболее удалена от фронтальной плоскости p ₂ точка А, т.к. у нее наибольшая координата по оси Y (Y _A).

Задача 3.2.

Через точку А провести горизонтальную прямую, длиной 40 мм, а через точку К - фронтально - проецируемую прямую, длиной 50 мм.

Решение

По заданным координатам (табл3.1) строим проекции точек А и К (рис3.3).

Далее рассуждаем следующим образом.

· Если прямая проходит через точку, то ее проекции проходят через соответствующие проекции точки.

· Если прямая горизонтальная, т.е. параллельна плоскости p ₁, то ее фронтальная проекция проходит параллельно оси X, а горизонтальная проекция по длине равна натуральной величине отрезка. Исходя из этого, построение начинаем с горизонтальной проекции. Через проекцию А ₁ под произвольным углом проводим прямую M ₁ N ₁ длиной 40 мм (M ₁ N ₁=40). Затем через проекцию A ₂ проводим прямую M ₂ N ₂ параллельно оси X, причем точки M ₂ и N ₂ получены на пересечении фронтальной проекции прямой и линий связи, проведенных из точек M ₁ и N ₁. Можно провести горизонтальную прямую непосредственно выходящей из точки A, (такой способ проиллюстрирован на примере фронтально-проецирующей прямой KT), но это не принципиально.

Фронтально-проецирующая прямая проходит перпендикулярно плоскости p ₂. Это значит, что ее горизонтальная проекция O ₁ T ₁ K ₁проходит перпендикулярно оси Х, а на фронтальной плоскости эта прямая проецируется в точку, причем эта точка сливается с проекцией K₂, т.е. T₂ ≡ K₂. При этом К ₁ Т ₁=| KT| =50.

Задача 3.3

Через точку A провести горизонтальную плоскость уровня γ, а через прямую BK - горизонтально-проецирующую плоскость b.

Решение.

Строим проекции точки A и прямой BK (рис.3.4). Плоскости γ и b удобнее всего задать следами у горизонтальной плоскости γ фронтальный след ƒ _0g проходит через проекцию точки A₂ параллельно оси Х. Горизонтального следа у плоскости g нет, т.к. она не пересекается с плоскостью проекций p ₁.

Горизонтально проецирующая плоскость b расположена перпендикулярно плоскости p ₁ и проходит через прямую BK. Это значит, что ее горизонтальный след h _0b проходит через горизонтальную проекцию отрезка B₁K₁, а фронтальный след плоскости ƒ _0b проходит перпендикулярно оси Х.

Через точку C провести прямую, параллельную прямой AB.

Решение

По заданным координатам строим проекции точки C и прямой AB (рис.3.5). Если две прямые параллельны между собой, то их одноименные проекции проходят параллельно друг к другу. Исходя из этого, через горизонтальную проекцию точки C ₁ проводим прямую ℓ ₁ параллельно проекции прямой A ₁ B ₁ (ℓ ₁║ A ₁ B ₁ ), а через фронтальную проекцию точки C ₂ проводим прямую ℓ ₂ параллельно фронтальной проекции прямой A ₂ B ₂(ℓ ₂║ A ₂ B ₂). Прямая ℓ (с проекциями ℓ ₁ и ℓ ₂) проходит через точку C параллельно прямой AB.

Задача 3.5

Построить проекции точки T, лежащей в плоскости треугольника ABC, если известна ее фронтальная проекция T₂.

Решение

По заданным координатам строим проекции плоскости ABC (рис.3.6,а). Для того, чтобы точка лежала на плоскости, она должна лежать на прямой принадлежащей плоскости. Поэтому, на плоскости p ₂ через имеющуюся проекцию T₂ проводим произвольную прямую ℓ ₂. Эта прямая пересекает стороны треугольника в точках 1 ₂и 2 ₂ (рис.3.6,б). Горизонтальная проекция прямой ℓ ₁ пройдет через точки 1 ₁ и 2 ₁. Прямая ℓ лежит в плоскости ABC, т.к. она проходит через две точки 1 и 2, лежащие в плоскости АВС.

Опустив по линии связи проекцию T ₂ на проекцию прямой ℓ ₁, находим горизонтальную проекцию точки T ₁. Плоскость ABC не ограничивается рамками треугольника, она выходит и за его пределы. Так, точка M (с проекциями M ₁и M ₂)также принадлежит плоскости ABC, т.к. она лежит на прямой ℓ (ℓ _1, ℓ ₂), принадлежащей в свою очередь плоскости ABC.

Задача 3.6

Через точку A провести плоскость b, параллельную плоскости BKC.

Решение

Строим проекции точки A и треугольника BKC (рис.3.7). Плоскость b можно задать любым способом. Удобнее всего его задать двумя прямыми, пересекающимися в точке A. Для того, чтобы плоскость bбыла параллельна плоскости ABC, эти две пересекающиеся прямые должны быть параллельны двум прямым, лежащим в плоскости ABC, например, сторонам треугольника BK и KC (m ║ BK, n ║ KC).

Задача 3.7

В плоскости AKC из точки A провести горизонтальh и фронталь ƒ.

Решение

Строим проекции плоскости AKC (рис.3.8). Как известно, у горизонтали h фронтальная проекция h ₂ проходит параллельно оси Х. Поэтому, вначале проводим из точки A прямую h ₂. По условиям задачи горизонталь h должна лежать в плоскости AKC, т.е. она должна иметь с ней две общие точки. Одной точкой является точка A, другой - точка T, лежащая на пересечений прямой h со стороной треугольника KC. На пересечении h₂ с K ₂ C ₂ находим проекцию T ₂, затем - по линии связи на проекции K ₁ C ₁ находим T ₁. Тогда горизонтальная проекция h ₁пройдетчерез A ₁ и T ₁. Фронталь ƒ начинаем строить с горизонтальной проекции ƒ ₁. Она пройдет из точки A₁ параллельно оси Х. Однако, такие пересечения ее с прямой K ₂ C ₂находятся за пределами чертежа. Поэтому, можно провести в плоскости AKC произвольную прямую ℓ (ℓ ₁ и ℓ ₂). На пересечении ℓ ₁ с ƒ ₁ находим точку N ₁. Затем по линии связи, на проекции ℓ ₂ находим точку N ₂.Фронтальная проекция фронтали ƒ ₂ пройдет через точки A ₂ и N ₂.

Задача 3.8

Построить следы прямой AB.

Решение

Строим проекции прямой AB (рис3.9).

Построения начнем с горизонтального следа. Для его нахождения, продлеваем фронтальную проекцию прямой A ₂ B ₂ до пересечения с осью Х (точка M ₂), затем из этой точки проводим линию связи вертикально вниз до пересечения ее с горизонтальной проекцией прямой A ₁ B ₁ и находим точку M ₁. Эта точка и будет горизонтальным следом прямой AB (M ₁≡ M).

Для нахождения фронтального следа прямой, продлеваем ее горизонтальную проекцию A ₁ B ₁ до пересечения ее с осью Х и находим точку N ₁. Затем из точки N ₁ проводим вертикальную линию связи до пересечения с фронтальной проекцией прямой A ₂ B ₂ и находим точку N ₂, которая и будет фронтальным следом прямой AB (N ₂≡ N). Как видно из рисунка, точка N находится ниже оси Х. Это значит, что прямая AB пересекает плоскость p ₂ во второй октанте (т.е. точка N находится ниже плоскости p ₁).

Задача 3.9.

Построить следы плоскости g (ABK).

Решение

Строим проекции плоскости ABK (рис.311).

Для построения следов плоскости, достаточно построить следы двух любых прямых, лежащих в этой плоскости. Методика построения следов прямой показана в задаче 3.8. На рис.3.11 показано построение следов прямых BK (точки M и N) и AK (точки T и L). Соединив соответствующие следы этих прямых (фронтальные следы L и N, горизонтальные следы M и T) построим следы плоскости g (h ₀g и f ₀g). При правильном построении оба следа плоскости должны пересекаться на оси Х (точка X g). Следы любой другой прямой (например AB), лежащей в плоскости ABK также находятся на соответствующих следах плоскости.

Задача 3.10

Сравнить расположения прямых AE и BD относительно плоскостей проекций.

Решение

Строим проекции прямых AE и BD (рис.3.11).

Сравнивая положение этих двух прямых можно отметить следующее:

1. Две прямые скрещивающиеся, т.к. у них нет общей точки пересечения.

2. В точке N₂ пересекаются фронтальные проекции этих прямых. Это значит, что в этой точке обе прямые находятся на одинаковой высоте от плоскости p₁. На участке A - N прямая AE расположена выше прямой BD (сравни точки T ₂и T ₂), а на участке EN она проходит ниже прямой BD (сравни точки T ₂ и T ₂^'), а на участке EN она проходит ниже прямой BD.

3. В точке T ₁ пересекаются горизонтальные проекции прямых A ₁ E ₁и B ₁ D ₁. Значит, в этой точке обе прямые одинаково удалены от плоскости p₂.На участке AT прямая AE расположена дальше от плоскости p₂(ближе “к нам”). Правее точки T картина обратная.

Этот метод сравнения расположения прямых в пространстве называется методом конкурирующих точек.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 725 | Нарушение авторских прав