АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Задачи на взаимопринадлежность.

Прочитайте:
  1. I. Решите задачи.
  2. I. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ «МЕЖДУНАРОДНЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ»
  3. II. Задачи (кейсы для подготовки – Aslakhanova, Janowiec, von Hannover, Al-Skeini, Finogenov – см. ниже)
  4. II. Задачи по частной патологической анатомии
  5. II. Задачи по частной патологической анатомии
  6. V. Выполнить ситуационные задачи.
  7. VI. Дальнейшие задачи и направления работы
  8. А. Ситуационные клинические задачи
  9. Б.Тестовые задачи
  10. В. Задачи для самоконтроля с ответами.

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

 

Позиционные задачи.

 

Позиционными задачами называются задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур друг относительно друга. К таким задачам, в частности, относятся задачи на взаимопринадлежность и задачи на пересечение. При решении позиционных задач важно представлять себе пространственное расположение геометрических фигур относительно плоскостей, проекций и друг относительно друга.

Ниже приведены решения типовых позиционных задач. Теоретической базой для решения этих задач служат материалы главы 1.

 

Задачи на взаимопринадлежность.

 

К задачам на взаимопринадлежность относятся взятие точки на линии или на поверхности, проведение линии на поверхности или поверхности через данные линии и т.д. При решении задач мы будем рассматривать простейшие геометрические фигуры: точки, прямые линии, плоскости.

 

Задача 3.1

По заданным координатам (табл3.1). Построить проекции точек А,В,С,Д,Е,К. Определить:

1. Какие точки лежат на плоскостях проекции?

2. Какая точка лежит на оси координат?

1. Какая точка находится выше всех остальных, т.е. наиболее удалена от плоскости p1?

2. Какая точка наиболее удалена от плоскости p2?

Таблица 3.1

Xa Ya Za Xb Yb Zb Xc Yc Zc Xd Yd Zd Xe Ye Ze Xk Yk Zk
                                   

 

Решение

Построение проекций точек проиллюстрируем на примере точки “К”.

По оси X откладываем координату X к=40 (рис.3.1) и проводим через полученную точку X к вертикальную линию связи, на которой откладываем вниз (вдоль оси Y) отрезок Y K=10, получаем проекцию K 1. Отложив от точки K x вверх (вдоль оси Z) координату K z=80, получаем проекцию K 2.

Аналогично строим проекции остальных точек (рис.3.2).

Анализируя положения точек в пространстве, можно ответить на остальные вопросы задачи.

1) Точка D лежит на плоскости p 2, т.к. ее координата Y d=0. Точка С лежит на плоскости p 2, т.к. ее координата Y d=0. Точка С лежит на плоскости p 3, т.к. X c=0;

2) Точка Е лежит на оси X, т.к. у этой точки координаты Y е и Z е равны нулю. Тогда две проекции этой точки находятся на оси X;

3)
Выше всех точек находится точка K, у нее наибольшая координата по оси Z (Z к);

4) Наиболее удалена от фронтальной плоскости p 2 точка А, т.к. у нее наибольшая координата по оси Y (Y A).

Задача 3.2.

Через точку А провести горизонтальную прямую, длиной 40 мм, а через точку К - фронтально - проецируемую прямую, длиной 50 мм.

Решение

По заданным координатам (табл3.1) строим проекции точек А и К (рис3.3).

 
 

Далее рассуждаем следующим образом.

· Если прямая проходит через точку, то ее проекции проходят через соответствующие проекции точки.

· Если прямая горизонтальная, т.е. параллельна плоскости p 1, то ее фронтальная проекция проходит параллельно оси X, а горизонтальная проекция по длине равна натуральной величине отрезка. Исходя из этого, построение начинаем с горизонтальной проекции. Через проекцию А 1 под произвольным углом проводим прямую M 1 N 1 длиной 40 мм (M 1 N 1=40). Затем через проекцию A 2 проводим прямую M 2 N 2 параллельно оси X, причем точки M 2 и N 2 получены на пересечении фронтальной проекции прямой и линий связи, проведенных из точек M 1 и N 1. Можно провести горизонтальную прямую непосредственно выходящей из точки A, (такой способ проиллюстрирован на примере фронтально-проецирующей прямой KT), но это не принципиально.

Фронтально-проецирующая прямая проходит перпендикулярно плоскости p 2. Это значит, что ее горизонтальная проекция O 1 T 1 K 1проходит перпендикулярно оси Х, а на фронтальной плоскости эта прямая проецируется в точку, причем эта точка сливается с проекцией K2, т.е. T2K2. При этом К 1 Т 1=| KT| =50.

 

Задача 3.3

Через точку A провести горизонтальную плоскость уровня γ, а через прямую BK - горизонтально-проецирующую плоскость b.

 

Решение.


Строим проекции точки A и прямой BK (рис.3.4). Плоскости γ и b удобнее всего задать следами у горизонтальной плоскости γ фронтальный след ƒ 0g проходит через проекцию точки A2 параллельно оси Х. Горизонтального следа у плоскости g нет, т.к. она не пересекается с плоскостью проекций p 1.

 

Горизонтально проецирующая плоскость b расположена перпендикулярно плоскости p 1 и проходит через прямую BK. Это значит, что ее горизонтальный след h 0b проходит через горизонтальную проекцию отрезка B1K1, а фронтальный след плоскости ƒ 0b проходит перпендикулярно оси Х.

 

 
 

Задача 3.4

Через точку C провести прямую, параллельную прямой AB.

Решение

По заданным координатам строим проекции точки C и прямой AB (рис.3.5). Если две прямые параллельны между собой, то их одноименные проекции проходят параллельно друг к другу. Исходя из этого, через горизонтальную проекцию точки C 1 проводим прямую 1 параллельно проекции прямой A 1 B 1 (ℓ 1A 1 B 1 ), а через фронтальную проекцию точки C 2 проводим прямую 2 параллельно фронтальной проекции прямой A 2 B 2( 2A 2 B 2). Прямая (с проекциями 1 и 2) проходит через точку C параллельно прямой AB.

 

Задача 3.5

Построить проекции точки T, лежащей в плоскости треугольника ABC, если известна ее фронтальная проекция T2.

 

 


Решение

По заданным координатам строим проекции плоскости ABC (рис.3.6,а). Для того, чтобы точка лежала на плоскости, она должна лежать на прямой принадлежащей плоскости. Поэтому, на плоскости p 2 через имеющуюся проекцию T2 проводим произвольную прямую 2. Эта прямая пересекает стороны треугольника в точках 1 2и 2 2 (рис.3.6,б). Горизонтальная проекция прямой 1 пройдет через точки 1 1 и 2 1. Прямая лежит в плоскости ABC, т.к. она проходит через две точки 1 и 2, лежащие в плоскости АВС.

Опустив по линии связи проекцию T 2 на проекцию прямой 1, находим горизонтальную проекцию точки T 1. Плоскость ABC не ограничивается рамками треугольника, она выходит и за его пределы. Так, точка M (с проекциями M 1и M 2)также принадлежит плоскости ABC, т.к. она лежит на прямой ( 1, 2), принадлежащей в свою очередь плоскости ABC.

Задача 3.6

Через точку A провести плоскость b, параллельную плоскости BKC.

 

 

Решение

Строим проекции точки A и треугольника BKC (рис.3.7). Плоскость b можно задать любым способом. Удобнее всего его задать двумя прямыми, пересекающимися в точке A. Для того, чтобы плоскость bбыла параллельна плоскости ABC, эти две пересекающиеся прямые должны быть параллельны двум прямым, лежащим в плоскости ABC, например, сторонам треугольника BK и KC (mBK, nKC).

 

Задача 3.7

В плоскости AKC из точки A провести горизонтальh и фронталь ƒ.

Решение

Строим проекции плоскости AKC (рис.3.8). Как известно, у горизонтали h фронтальная проекция h 2 проходит параллельно оси Х. Поэтому, вначале проводим из точки A прямую h 2. По условиям задачи горизонталь h должна лежать в плоскости AKC, т.е. она должна иметь с ней две общие точки. Одной точкой является точка A, другой - точка T, лежащая на пересечений прямой h со стороной треугольника KC. На пересечении h2 с K 2 C 2 находим проекцию T 2, затем - по линии связи на проекции K 1 C 1 находим T 1. Тогда горизонтальная проекция h 1пройдетчерез A 1 и T 1. Фронталь ƒ начинаем строить с горизонтальной проекции ƒ 1. Она пройдет из точки A1 параллельно оси Х. Однако, такие пересечения ее с прямой K 2 C 2находятся за пределами чертежа. Поэтому, можно провести в плоскости AKC произвольную прямую ( 1 и 2). На пересечении 1 с ƒ 1 находим точку N 1. Затем по линии связи, на проекции 2 находим точку N 2.Фронтальная проекция фронтали ƒ 2 пройдет через точки A 2 и N 2.

 

Задача 3.8

Построить следы прямой AB.

Решение

Строим проекции прямой AB (рис3.9).

Построения начнем с горизонтального следа. Для его нахождения, продлеваем фронтальную проекцию прямой A 2 B 2 до пересечения с осью Х (точка M 2), затем из этой точки проводим линию связи вертикально вниз до пересечения ее с горизонтальной проекцией прямой A 1 B 1 и находим точку M 1. Эта точка и будет горизонтальным следом прямой AB (M 1M).

Для нахождения фронтального следа прямой, продлеваем ее горизонтальную проекцию A 1 B 1 до пересечения ее с осью Х и находим точку N 1. Затем из точки N 1 проводим вертикальную линию связи до пересечения с фронтальной проекцией прямой A 2 B 2 и находим точку N 2, которая и будет фронтальным следом прямой AB (N 2N). Как видно из рисунка, точка N находится ниже оси Х. Это значит, что прямая AB пересекает плоскость p 2 во второй октанте (т.е. точка N находится ниже плоскости p 1).

 

 

Задача 3.9.

Построить следы плоскости g (ABK).

Решение

Строим проекции плоскости ABK (рис.311).

Для построения следов плоскости, достаточно построить следы двух любых прямых, лежащих в этой плоскости. Методика построения следов прямой показана в задаче 3.8. На рис.3.11 показано построение следов прямых BK (точки M и N) и AK (точки T и L). Соединив соответствующие следы этих прямых (фронтальные следы L и N, горизонтальные следы M и T) построим следы плоскости g (h 0g и f 0g). При правильном построении оба следа плоскости должны пересекаться на оси Х (точка X g). Следы любой другой прямой (например AB), лежащей в плоскости ABK также находятся на соответствующих следах плоскости.

 

Задача 3.10

Сравнить расположения прямых AE и BD относительно плоскостей проекций.

Решение

Строим проекции прямых AE и BD (рис.3.11).

Сравнивая положение этих двух прямых можно отметить следующее:

1. Две прямые скрещивающиеся, т.к. у них нет общей точки пересечения.

2. В точке N2 пересекаются фронтальные проекции этих прямых. Это значит, что в этой точке обе прямые находятся на одинаковой высоте от плоскости p1. На участке A - N прямая AE расположена выше прямой BD (сравни точки T 2и T 2), а на участке EN она проходит ниже прямой BD (сравни точки T 2 и T 2'), а на участке EN она проходит ниже прямой BD.

3. В точке T 1 пересекаются горизонтальные проекции прямых A 1 E 1и B 1 D 1. Значит, в этой точке обе прямые одинаково удалены от плоскости p2.На участке AT прямая AE расположена дальше от плоскости p2(ближе “к нам”). Правее точки T картина обратная.

Этот метод сравнения расположения прямых в пространстве называется методом конкурирующих точек.

 


Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 673 | Нарушение авторских прав







При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.009 сек.)