АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Метрические задачи.

Метрическими называются задачи, решение которых связано с нахождением линейных и угловых размеров геометрических фигур.

Чисто метрические задачи встречаются редко, зачастую на промежуточных этапах решения приходится выяснять позиционные отношения между геометрическими фигурами.

В данной главе рассматриваются задачи на определяемые расстоянии между двумя точками в пространстве, между точкой и прямой, между прямыми, точкой и плоскостью, определение натуральной величины плоской фигуры и т.д.

Поскольку многие геометрические параметры фигур на проекциях получаются искаженными, то при решении задач широко используются способы преобразования ортогональных проекций, приведенные в главе 2.

Задача 3.22

Определить натуральную величину отрезка AB и углы наклона его к плоскостям p ₁ и p ₂ способом замены плоскостей проекций (рис.3.23,а).

Решение

Пусть заданы проекции прямой AB (рис.3.23,б). Эта прямая общего положения, т.е. ни одна из его проекций не равна натуральной величине отрезка. Прямая проецируется на плоскость в натуральную величину тогда, когда она расположена параллельно ей. Поэтому, производим замену плоскостей проекции, причем новую плоскость проекций (например p₄) проводим параллельно прямой AB и перпендикулярно плоскости p₁. Тогда новая ось проекций X ₁₄(линия пересечения плоскостей p₁и p₄ или, что то же самое, след плоскости p₄ на плоскости π ₁) расположится параллельно

проекции A ₁ B ₁ (X ₁₄|| A ₁ B ₁). Построение проекции прямой A ₄ B ₄ сводится к построению проекции точек A ₄ и B ₄на плоскости p₄. Для построения проекции A ₄проводим из точки A ₁ линию связи, перпендикулярно оси X ₁₄ (A ₁ A ₄^ X ₁₄) и откладываем на ней от оси X ₁₄ расстояние, равное расстоянию от точки A ₂ до оси X ₁₂(A ₄ A _X14= A ₂ A _X12). Аналогично находим проекцию B ₄. Таким образом, в результате замены плоскости p₂ на новую плоскость p₄ получаем новую систему плоскостей p₁- p₄, на которой проекция A ₄ B ₄ будет равна натуральной величине прямой AB (A ₄ B ₄=| AB| угол g ₁ между проекцией A ₄ B ₄ и осью X ₁₄ равен углу между прямой AB и плоскостью p₁.

Задача 3.23

Определить натуральную величину отрезка AB способом вращения (рис.3.24,а).

Решение

Задачу. аналогичную задаче 3.23 можно решить также способом вращения. За ось вращения возьмем горизонтально-проецирующую прямую ℓ, проходящую через точку B (ℓ₂ ^ X, ℓ₁ º B₁). Тогда задача значительно облегчается, т.к. точка B, при вращении отрезка, остается на месте (рис.3.24,б).

Повернем точку A вокруг оси ℓ на угол b таким образом, чтобы прямая AB расположилась параллельно плоскости p₂. При этом точка A ₁займет положение A ₁^' (A ₁^' B ₁|| X), а точка A ₂переместится по прямой, параллельной оси X. Проведя из точки A ₁'вертикально вверх линию связи, находим положение проекции A ₂'. Тогда проекция B ₂ A ₂', будет равна натуральной величине отрезка AB. Угол g ₁ будет равен углу наклона прямой AB к плоскости p₁.

Задача 3.24

Определить расстояние от точки A до плоскости BCD способом замены плоскостей проекций (рис.3.25,а).

Решение

Для решения задачи необходимо произвести замену плоскостей проекций так, чтобы новая плоскость p₄ прошла перпендикулярно плоскости BCD (рис.3.25.б). Тогда на эту плоскость треугольник BCD спроецируется в прямую линию B ₄ C ₄ D ₄. Для того, чтобы плоскость p₄была перпендикулярна плоскости BCD, она должна быть перпендикулярно к прямой лежащей в этой плоскости. В качестве такой прямой выбираем горизонталь h, лежащую в плоскости BCD.

Таким образом, порядок построения будет следующим.

1. Cтроим проекции плоскости BCD и точки A.

2. В плоскости BCD проведем горизонталь h (h ₂, h ₁).

3. Проведем ось X ₁₄^ h ₁.

4. Строим на плоскости p₄ проекции треугольника B ₄ C ₄ D ₄ и точки A ₄. При правильном построении точки B ₄ C ₄ D ₄ расположатся вдоль прямой линии.

5. Расстояние от точки A ₄ до прямой B ₄ C ₄ D ₄и будет искомым расстоянием от точки A до плоскости BCD.

Задача 3.25

Даны проекции прямой AB и фронтальная проекция точки T (T₂). Построить горизонтальную проекцию точки T если известно, что она равноудалена от точек A и B (рис.3.26,а).

Решение

Задача решается способом замены плоскостей проекций (рис.3.26,б). Новую плоскость p₄ проводим параллельно прямой AB, для чего ось X ₁₄ проводим параллельно проекции A ₁ B ₁. На плоскости p₄ строим проекции A ₄ B ₄. Она будет равна натуральной величине отрезка AB. По условиям задачи, точка T равноудалена от концов отрезка AB. Значит она должна лежать на перпендикуляре “ m ”, проеденном через точку L, середину отрезка A ₄ B ₄ (A ₄ L = B ₄ L). Поскольку известна фронтальная проекция точки T ₂, то проекция этой точки T ₄ должна лежать на расстоянии от оси X ₁₄, равном расстоянию от точки T ₂ до оси X ₁₂ (ℓ = T ₂ T _X2).

Проведя на расстоянии ℓ линию, параллельную оси X ₁₄ найдем на ее пересечении с перпендикуляром ” m ” точку T ₄. Далее, проведем из точки T ₄ линию связи перпендикулярно оси X ₁₄, а из точки T ₂- линию связи перпендикулярно оси X ₁₂. На пересечении этих двух линий связи находим горизонтальную проекцию точки T ₁.

Задача 3.26

Решение

Задача решается аналогично задаче 3.25.

1. Производим замену плоскостей проекций (рис.3.27,б). Новую плоскость p₄ проводим параллельно прямой AB, для чего ось проекции A ₁ B ₁ (X ₁₄|| A ₁ B ₁). Строим на плоскости p₄ проекции A ₄ B ₄ и C ₄ D ₄.

2. Через середину проекции A ₄ B ₄ (точку L) проводим перпендикуляр m к ней (A ₄ L = B ₄ L, m ^ A ₄ B ₄).

3. Любая точка на этом перпендикуляре равноудалена от точек A и B. Тогда на пересечении этого перпендикуляра с проекцией C ₄ D ₄ находим точку T ₄, которая удовлетворяет условиям задачи.

4. По линиям связи, в обратном порядке, находим проекции этой точки T ₁ и T ₂.

Задача 3.27

Определить расстояние между параллельными плоскостями b и g. Плоскости заданы следами (рис.3.28,а).

Решение

Если плоскости b и g параллельны между собой, то их следы также параллельны между собой. Порядок решения следующий (рис.3.28,б).

1. Производим замену плоскостей проекций. Новую плоскость p₄ проведем перпендикулярно плоскостям b и g, для чего ось X ₁₄должна пройти перпендикулярно горизонтальным следам плоскостей h _0g и h _0b.

2. Для построения фронтального следа плоскости g (ƒ _0g) возьмем на следе этой плоскости ƒ _0g произвольную точку T (T ₂ T ₁) и найдем ее проекцию на плоскости p₄ (T ₄). Тогда новый фронтальный след плоскости ƒ _0g пройдет через эту точку. Фронтальный след плоскости b (ƒ '_0b) пройдет параллельно следу ƒ '_0g (ƒ '_0g|| ƒ _0b). Расстояние ℓ между этими следами и будет расстоянием между параллельными плоскостями g и b.

Задача 3.28

Определить расстояние от точки A до прямой BC (рис.3.29,а).

Решение

Задача решается двойной заменой плоскостей проекций (рис.3.29,б). Вначале заменяем плоскость p₂ на p₄. Горизонтально-проецирующую плоскость p₄ проводим параллельно прямой AB (X ₁₄|| A ₁ B ₁). Получаем новые проекции прямой B ₄ C ₄ и точки A ₄. Заменяем теперь плоскость p₁ на p₅. Эту плоскость проводим перпендикулярно прямой BC (X ₄₅^ B ₄ C ₄). В результате двойной замены плоскостей проекций прямая BC спроецировалась в точку (B ₅≡ C ₅). Расстояние ℓ между проекциями A ₅ и B ₅ C ₅, будет искомым расстоянием между точкой A и прямой BC.

Задача 3.29

Решение

Задача решается аналогично предыдущей задаче, двойной заменой плоскостей проекций (рис.3.30,б).

Вначале заменяем плоскость p₂ на p₄, при этом p₄ проведем параллельно прямым AB и CD (X ₁₄|| A ₁ B ₁, X ₁₄|| C ₁ P ₁). Получаем проекции прямых A ₄ B ₄ и C ₄ P ₄. Затем заменяем плоскость p₁ на p₅, при этом p₅^ AB, p₅^ CP (X ₄₅^ A ₄ B ₄, X ₄₅^ CP). В результате двойной замены плоскостей проекций обе параллельные между собой прямые спроецировались в точку. Расстояние ℓ и будет искомым расстоянием между прямыми AB и CD.

Задача 3.30

Определить расстояние между скрещивающимися прямыми AB и CD (рис.3.31,а).

Решение

Задача также решается двойной заменой плоскостей проекций (рис.3.31,б). В результате этих замен одна из прямых (например AB) должна занять проецирующее положение (т.е. спроецироваться на плоскость p₅ в точку). Первую плоскость p₄ проведем параллельно AB (X ₁₄|| A ₁ B ₁). Получаем проекции прямых A ₄ B ₄ затем подставляем новую плоскость проекций p₅^ AB (X ₄₅^ A ₄ B ₄). В результате этих замен прямая AB спроецировалась в точку (A ₅º B ₅), а проекция прямой C ₅ D ₅ займет некоторое общее положение. Тогда расстояние ℓ будет искомым расстоянием между прямыми AB и CD.

Задача 3.31

Определить натуральную величину плоской фигуры b (ABC) (рис.3.32,а).

Решение

Плоскость b (ABC) спроецируется в натуральную величину в том случае, если она будет параллельна плоскости проекций (рис.3.32,б). Однако, сразу построить плоскость проекции параллельно плоскости ABC нельзя, т.к. она сама будет плоскостью общего положения. Поэтому замену плоскостей проекций произведем поэтапно.

В начале заменяем плоскость p₂ на p₄, при этом p₄ проведем перпендикулярно плоскости b (ABC) (X ₁₄^ h ₁). В результате этой замены плоскость b (ABC) спроецировалась в прямую линию A ₄ B ₄ C ₄. Затем заменяем плоскость p₁ на p₅, при этом p₅ проведем параллельно плоскости b (X ₄₅|| A ₄ B ₄ C ₄). В результате второй замены получаем проекцию плоскости A ₅ B ₅ C ₅ которая равна натуральной величине плоскости b (ABC).

Задача 3.32

Через точку B провести BT прямую общего положения расположенную над углом 50⁰ к плоскости p₁ и под углом 30⁰ к плоскости p₂ (рис.3.33).

Решение

Через точку B ₂проведем прямую под углом 50⁰ к оси X до пересечения ее с этой осью (точке T '₂). Делим отрезок B ₂ T ₂' пополам и из центра O проводим дугу окружности радиусом R = B ₂ O = T ₂' O.

Далее, через точку B ₂ проводим прямую B ₂ K под углом 30⁰ к прямой B ₂ T ₂' до пересечения ее с дугой окружности. Соединяем точку K с точкой T ₂. Тогда угол B ₂ KT ₂', будет прямым. Проводим из центра B ₂ через точку K дугу окружности до пересечения с осью X и отмечаем точку T ₂. Из точки B ₁ проводим прямую параллельно оси X, а из точки T ₂'вертикальную линию связи - на их пересечении отмечаем точку T ₁'. Далее из центра B ₁ проводим дугу окружности радиусом r = B ₁ T ₁', а из точки T ₂ проводим вертикальную линию связи. На их пересечении отмечаем точку T ₁. Проекции B ₁ T ₁ и B ₂ T ₂будут проекциями искомой прямой BT.

Правильность построения можно проверить обратным путем.

1. Определим натуральную величину прямой BT и угол наклона ее к плоскости p₁ методом вращения. Для этого повернем проекцию T ₁вокруг центра B ₁ на некоторый угол, чтобы эта проекция расположилась параллельно оси X (B ₁ T ₁'). Тогда фронтальная проекция точки T ₂ переместится параллельно оси X и займет положение T ₂'. При этом отрезок B ₂ T ₂', будет равен натуральной величине отрезка BT, а угол наклона ее к плоскости p₁ будет равен 50⁰.

2. В прямоугольном треугольнике B ₂ KT ₂' гипотенуза B ₂ T ₂' равна натуральной величине отрезка BT, а один катет (B ₂ K) равен фронтальной проекции отрезка B ₂ T ₂. Значит, второй катет равен разности расстояний точек B ₁ и Т ₁ от оси X (KT ₂'= T ₂ T ₁) а угол KB ₂ T ₂'=30⁰ равен углу наклона прямой BT к плоскости p₁.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 632 | Нарушение авторских прав