АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Операции над множествами. Из элементов двух множеств можно образовывать новые множества, которые являются результатом определенных операций над множествами.

Из элементов двух множеств можно образовывать новые множества, которые являются результатом определенных операций над множествами.

Пересечением двух множеств А и В называется множество А ∩ В, содержащее только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

А ∩ в = { х | х А и х В }

Рассмотрим примеры, используя рисунок 30.

1. Пусть А – множество треугольников, В – множество черных фигур, С – множество черных треугольников. Тогда множество С можно рассматривать как пересечение множеств А и В, так как черные треугольники принадлежат обоим множествам: А ∩ В = С.

2. Пусть А – множество треугольников, В – множество черных треугольников. Тогда их пересечением будет множество В, так как В является подмножеством А: А ∩ В = В.

3. Пусть А – множество квадратов, В – множество четырехугольников. Тогда их пересечением будет любое из этих множеств, так как множество А и В равны: А ∩ В = А или А ∩ В = В.

4. Пусть А – множество треугольников, В – множество квадратов. У этих множеств нет общих элементов, поэтому результатом их пересечения будет пустое множество А ∩ В = Ø.

В работе с детьми чаще всего рассматривается первый случай. Он учит выделять общие элементы в множествах.

Результат пересечения двух множеств зависит от их отношений и может быть изображен при помощи кругов Эйлера так, как на рисунке 33.

Задание 23

Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением были:

- точка;

- отрезок;

- треугольник;

- четырехугольник;

- пятиугольник;

- шестиугольник.

Над множествами выполняют и другую операцию – объединение.

Объединением двух множеств А и В называется множество А В, содержащее только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

А В = { х | х А и х В }

Рассмотрим примеры, используя рисунок 30.

1) Пусть А – множество треугольников, В – множество черных фигур, С – множество всех фигур. Тогда множество С можно рассматривать как объединение множеств А и В: А В = С.

2) Пусть А – множество треугольников, В – множество черных треугольников. Тогда их объединение будет множество А: А В = А.

3) Пусть А – множество квадратов, В – множество четырехугольников. Тогда их объединение будет любое из этих множеств, так как множество А и В равны: А В = А или А В = В.

4) Пусть А – множество треугольников, В – множество квадратов, С – множество всех фигур. Тогда результатом объединения множеств А и В будет множество С: А В = С.

В случае пересекающихся множеств (пример 1) общие элементы множеств А и В в объединении записываются только один раз. Например, если А = { a, b, c, d }, В = { b, c, k, l, m }, то А В = { a, b, c, d, k, l, m }.

В работе с детьми чаще всего рассматривается четвертый случай. Он учит объединять непересекающиеся множества. Это используется и для изучения действия сложения чисел. Например: на столе лежат яблоки и груши.

· Сколько яблок? (3)

· Сколько груш? (2)

· Сколько всего фруктов? (5)

· Как получилось число 5? (3 + 2).

С помощью кругов Эйлера объединение можно изобразить, так как показано на рисунке 34.

Задание 24

Найдите объединение и пересечение множеств А и В, если:

- А = {2, 4, 6, 8}, В = {6, 7, 8, 9};

- А = {2, 4, 6, 8}, В = {1, 3, 4, 5, 7};

- А = {2, 4, 6, 8}, В = {4, 8};

- А = {2, 4, 6, 8}, В = {4, 8, 2, 6};

- А = {2, 4, 6, 8}, В = Ø.

Заметим, что при пересечении и объединении равных множеств результат получается одинаковый. При пересечении любого множества с пустым множеством получается пустое множество. Результатом объединения любого множества с пустым множеством является исходное множество.

Из школьного курса известно, что операции над числами и их результаты имеют разные термины:

В теории множеств рассмотренные операции и их результаты имеют одно название: «объединение», «пересечение».

Операции над натуральными числами обладают рядом свойств. Для любых а Î B, b Î N, c Î N справедливы равенства:

а + b = b + а (переместительное свойство сложения);

а · b = b · а (переместительное свойство умножения);

(а + b) + с = а + (b + с) (сочетательное свойство сложения);

(а · b) · с = а · (b · с) (сочетательное свойство умножения);

(а + b) · с = а · с + b · с (распределительное свойство умножения относительно сложения).

Похожими свойствами обладают и действия над множествами.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 683 | Нарушение авторских прав