Интерполяционная формула Ньютона позволяет выразить интерполяционный многочлен через значения в одном из узлов и через разделенные разности функции , построенные по узлам . Она является разностным аналогом формулы Тейлора
Сначала приведем необходимые сведения о разделенных разностях. Пусть в узлах известны значения функции . Предположим, что среди точек нет совпадающих.
Определение 1.2 Разделенными разностями первого порядка называются отношения
Рассмотрим разделенные разности, составленные по соседним узлам, т.е. выражения . По этим разделенным разностям первого порядка можно построить разделенные разности второго порядка.
Определение 1.3 Разделенными разностями второго порядка называются отношения
,
, …,
.
Аналогично определяются разделенные разности более высокого порядка.
Определение 1.4 Если известны разделенные разности порядка , , то разделенная разность порядка определяется как
.
При вычислении разделенных разностей принято записывать их в таблицы
·
·
·
…
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Определение 1.5Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен
(1.11)
Замечание1: Интерполяционные формулы Лагранжа (1.10) и Ньютона (1.11) представляют собой различную запись одного и того же многочлена удовлетворяющего условиям интерполирования (1.3).
Замечание2: Интерполяционную формулу Ньютона удобнее применять в том случае, когда интерполируется одна и та же функция , но число узлов интерполирования увеличивается. Если узлы интерполяции фиксированы и интерполируется не одна, а несколько функций, то удобнее пользоваться формулой Лагранжа.