Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности

Прочитайте:

Рассмотрим следующую задачу: построить квадратурную формулу

, (3.1)

которая при заданном n была бы точна для алгебраического многочлена возможно большей степени.

Такие квадратурные формулы называются квадратурными формулами наивысшей алгебраической степени точности или формулами Гаусса. Эти формулы точны для любого алгебраического многочлена степени 2 n -1.

Потребуем, чтобы квадратурная формула (3.1) была точна для любого алгебраического многочлена степени m. Это эквивалентно требованию, чтобы формула была точна для функции . Отсюда получаем условия

(3.2)

Они представляют собой нелинейную систему уравнений относительно неизвестных . Для того чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, надо потребовать .

Пример 1. Пусть , a =-1, b =1, n =1, m =1. Система (3.1) принимает вид

т.е. приходим к формуле прямоугольников: , которая точна для любого многочлена первой степени.

Пример 2. При n =2, m =3 система (3.2) записывается в виде

Отсюда находим , , т.е. получаем квадратурную формулу , которая точна для любого многочлена третьей степени.

Введем многочлен

(3.3)

Будем предполагать, что .

Теорема 3.1. Квадратурная формула (3.1) точна для любого многочлена степени тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. многочлен ортогонален с весом любому многочлену степени меньше n, т.е.

(3.4)

2. Формула (3.1) является квадратурной формулой интерполяционного типа, т.е.

(3.5)

Условие (3.4) эквивалентно требованиям

, (3.6)

которые представляют собой систему n уравнений относительно n, неизвестных .

Таким образом, для построения формул Гаусса достаточно найти узлы из соотношений ортогональности (3.6) и затем вычислить коэффициенты согласно (3.5).

Теорема 3.2. Если - многочлен степени n, ортогональный на с весом любому многочлену степени меньше n, то все его корни различны и расположены на .