Геометрически такая замена означает, что площадь криволинейной трапеции ABCD заменяется площадью прямоугольника .
Тогда получим формулу
(1.0)
Она называется формулой средних прямоугольников на частичном отрезке .
Погрешность метода определяется величиной . Ее легко можно оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем в следующем виде
, (1.5)
воспользуемся разложением
,
где .
Тогда из (1.6) получим
Обозначим , тогда погрешность можно оценить следующим образом
Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка
, (1.6)
т.е., формула имеет погрешность при . Оценка (1.7) неулучшаема, т.е. существует формула для которой оценка (1.7) выполняется со знаком равенства (например, ).
Суммируя равенство (1.5) по , получим составную формулу прямоугольников
(1.7)
Погрешность этой формулы равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам
(1.8)
Обозначим , тогда из (1.9) получаем
, (1.9)
т.е., погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть величина при . В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет второй порядок точности.