П. 2.1. Вывод формул
Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов
, (2.1)
где - заданная интерполируемая функция (так называемая весовая функция),
- достаточно гладкая функция.
Рассматриваемые далее формулы имеют вид
, (2.2)
где , - числовые коэффициенты, .
Квадратурные формулы будем получать путем замены интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке . Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частным случаем квадратурных формул интерполяционного типа, когда , .
Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа.
Пусть на заданы узлы интерполирования . Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на . Заменим в интеграле (2.1) функцию интерполяционным многочленом Лагранжа
,
где , .
Получим приближенную формулу вида (2.2), где
(2.3)
Таким образом, формула (2.2) является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу (2.3).
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 532 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|