При аппроксимации интеграла (1.4) заменим функцию параболой, проходящей через точки , т.е. представим в виде
,
где - интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени:
Проводя интегрирование, получим
,
где , .
Таким образом, приходим к приближенному равенству
(1.14)
Эта формула называется формулой Симпсона или формулой парабол.
На всем отрезке формула Симпсона имеет вид
(1.0)
Чтобы не использовать дробных индексов, можно обозначить
.
Тогда формулу Симпсона можно записать следующим образом
(1.15)
Погрешность формулы (1.15) оценивается следующим образом
, (1.16)
где .
Погрешность составной формулы Симпсона (1.17) оценивается так:
, (1.17)
где , .
Отсюда видно, что формула Симпсона существенно точнее, чем формулы прямоугольников и трапеций. На частичном отрезке она имеет пятый порядок точности (), а на всем отрезке – четвертый порядок точности ().
равномерную сетку с шагом h
.
параболой, проходящей через точки 
, т.е. представим 
,
- интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени:
,
, 
.
(1.14)
формула Симпсона имеет вид
(1.0)
.
(1.15)
формулы (1.15) оценивается следующим образом
, (1.16)
.
, (1.17)
, 
.
), а на всем отрезке – четвертый порядок точности (
).