П. 2.1. Построение кубического сплайна
Пусть на задана непрерывная функция . Введем сетку
.
Обозначим .
Определение 2.1 Интерполяционным кубическим сплайном, соответствующим данной функции и данным узлам называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:
1. на каждом сегменте функция является многочленом третьей степени;
2. функция , а также ее первая и вторая производные непрерывны на ;
3. – выполняется условие интерполирования.
На каждом из отрезков , будем строить функцию в виде многочлена третьей степени:
(2.1)
– коэффициенты, подлежащие определению. Поясним смысл введенных переменных. Имеем
поэтому
Из условия интерполирования , получаем
, (2.2)
доопределим .
Из непрерывности функции следует . Отсюда, учитывая выражение для , получаем
Обозначая (2.3)
перепишем это уравнение в следующем виде
(2.4)
Условия непрерывности первой производной приводят к уравнениям
(2.5)
Условия непрерывности второй производной приводят к уравнениям
(2.6)
Объединяя (2.4)-(2.6), получим систему уравнений относительно неизвестных , .
Два недостающих уравнения получают, задавая те или иные граничные условия для . Пусть функция удовлетворяет условиям , тогда естественно требовать, чтобы . Отсюда получаем , т.е.
Условие совпадает с уравнением (2.6) при , если положить . Таким образом, приходим к замкнутой системе уравнений для определения коэффициентов кубического сплайна:
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Исключая из этих уравнений переменные , получим систему, содержащую только . Для этого рассмотрим два соседних уравнения вида (2.9):
Вычтем второе уравнение из первого, получаем
Подставим найденное выражение для в правую часть уравнения (2.8), получим .
Приведя подобные слагаемые, и умножив обе части уравнения на 2, получим
(2.10)
Рассмотрим два соседних уравнения вида (2.7) и умножим их на и соответственно
Подставим эти выражения в (2.10), получаем
.
Окончательно для определения коэффициентов получаем систему уравнений
(2.11)
Системы такого вида решаются методом прогонки. В силу диагонального преобладания система имеет единственное решение.
По найденным коэффициентам ci коэффициенты bi, di определяются с помощью явных формул
(2.12)
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 667 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|