АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

П. 2.1. Построение кубического сплайна

Прочитайте:
  1. Занятия 3, 4. Построение чувственно-телесных отношений со своей внешностью.
  2. П.4.2. Построение семейства схем второго порядка тосности.
  3. П.6.2. Построение явной схемы Адамса
  4. П.7.1. Построение неявной схемы
  5. П.9.2. Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации
  6. Полное исследование функций и построение их графиков
  7. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА БАЗАЛЬНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ.
  8. Построение занятия лечебной гимнастикой
  9. Построение клинико-психологического исследования.

Пусть на задана непрерывная функция . Введем сетку

.

Обозначим .

Определение 2.1 Интерполяционным кубическим сплайном, соответствующим данной функции и данным узлам называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1. на каждом сегменте функция является многочленом третьей степени;

2. функция , а также ее первая и вторая производные непрерывны на ;

3. – выполняется условие интерполирования.

 

На каждом из отрезков , будем строить функцию в виде многочлена третьей степени:

(2.1)

– коэффициенты, подлежащие определению. Поясним смысл введенных переменных. Имеем

поэтому

Из условия интерполирования , получаем

, (2.2)

доопределим .

Из непрерывности функции следует . Отсюда, учитывая выражение для , получаем

Обозначая (2.3)

перепишем это уравнение в следующем виде

(2.4)

Условия непрерывности первой производной приводят к уравнениям

(2.5)

Условия непрерывности второй производной приводят к уравнениям

(2.6)

Объединяя (2.4)-(2.6), получим систему уравнений относительно неизвестных , .

Два недостающих уравнения получают, задавая те или иные граничные условия для . Пусть функция удовлетворяет условиям , тогда естественно требовать, чтобы . Отсюда получаем , т.е.

Условие совпадает с уравнением (2.6) при , если положить . Таким образом, приходим к замкнутой системе уравнений для определения коэффициентов кубического сплайна:

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Исключая из этих уравнений переменные , получим систему, содержащую только . Для этого рассмотрим два соседних уравнения вида (2.9):

Вычтем второе уравнение из первого, получаем

Подставим найденное выражение для в правую часть уравнения (2.8), получим .

Приведя подобные слагаемые, и умножив обе части уравнения на 2, получим

(2.10)

Рассмотрим два соседних уравнения вида (2.7) и умножим их на и соответственно

Подставим эти выражения в (2.10), получаем

.

Окончательно для определения коэффициентов получаем систему уравнений

(2.11)

Системы такого вида решаются методом прогонки. В силу диагонального преобладания система имеет единственное решение.

По найденным коэффициентам ci коэффициенты bi, di определяются с помощью явных формул

(2.12)


Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 667 | Нарушение авторских прав



1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |



При использовании материала ссылка на сайт medlec.org обязательна! (0.005 сек.)