П.9.2. Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в самосопряженной форме
(9.3)
с краевыми условиями первого рода
u (0)= μ 1, u (1)= μ 2 (9.4)
Если , то такая задача описывает стационарное распределение тепла в стержне. Задача имеет единственное решение, если k (x), q (x), f (x) –кусочно-непрерывные функции.
Введем на отрезке [0,1] равномерную сетку
Запишем трехточечную разностную схему для краевой задачи (9.3)-(9.4) в прогоночном виде
(9.5)
Коэффициенты bi, ci, ai, φi зависят от значений функций k (x), q (x), f (x) в узлах сетки, а также от шага h.
Перепишем разностную схему (9.5) в следующем виде:
(9.6)
где .
Схема называется однородной, если ее коэффициенты во всех узлах сетки для любого линейного дифференциального уравнения вычисляются по одним и тем же правилам.
Для однородной схемы удобна система безиндексных обозначений:
(9.7)
Здесь a = a (x), b = b (x), d = d (x), y = y (x), x = ih, h Î wh
,
Найдем погрешность аппроксимации схемы (9.7)
(9.8)
По формуле Тейлора
тогда
(*)
Подставим выражения (*) в (9.8)
Т.о., схема (9.7) будет иметь 2-ой порядок аппроксимации, если будут выполняться следующие условия:
, , d = q(x)+O(h2), -j = f(x)+O(h2) (9.9)
Эти условия выполняются, например, при , (9.10)
где , , .
Действительно
,
поэтому
,
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1101 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
|