АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

П.9.2. Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в самосопряженной форме

(9.3)

с краевыми условиями первого рода

u (0)= μ ₁, u (1)= μ ₂ (9.4)

Если , то такая задача описывает стационарное распределение тепла в стержне. Задача имеет единственное решение, если k (x), q (x), f (x) –кусочно-непрерывные функции.

Введем на отрезке [0,1] равномерную сетку

Запишем трехточечную разностную схему для краевой задачи (9.3)-(9.4) в прогоночном виде

(9.5)

Коэффициенты b_i, c_i, a_i, φ_i зависят от значений функций k (x), q (x), f (x) в узлах сетки, а также от шага h.

Перепишем разностную схему (9.5) в следующем виде:

(9.6)

где .

Схема называется однородной, если ее коэффициенты во всех узлах сетки для любого линейного дифференциального уравнения вычисляются по одним и тем же правилам.

Для однородной схемы удобна система безиндексных обозначений:

(9.7)

Здесь a = a (x), b = b (x), d = d (x), y = y (x), x = ih, h Î w_h

,

Найдем погрешность аппроксимации схемы (9.7)

(9.8)

По формуле Тейлора

тогда

(*)

Подставим выражения (*) в (9.8)

Т.о., схема (9.7) будет иметь 2-ой порядок аппроксимации, если будут выполняться следующие условия:

, , d = q(x)+O(h²), -j = f(x)+O(h²) (9.9)

Эти условия выполняются, например, при , (9.10)

где , , .

Действительно

,

поэтому

,

Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1126 | Нарушение авторских прав