П.6.4. Устойчивость на модельной задаче
Исследуем устойчивость разностной схемы (6.9) на модельной задаче
Для модельного уравнения схема примет вид
или
Последнее уравнение является частным случаем трехточечного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами:
(6.11)
В уравнении (6.11) любое его решение однозначно определяется заданием значений в двух соседних узлах сетки.
Если и два линейно независимых решения уравнения (6.11), то общее решение этого уравнения можно записать в виде линейной комбинации
(6.12)
Убедимся, что формула (6.12) в самом деле дает общее решение уравнения (6.11). Пусть - некоторое решение (6.11) и и - его значения в узлах и . Тогда из (6.12) получаем систему
Эта система однозначно разрешима относительно C1 и C2 в силу линейной независимости и .
Общее решение (6.12) можно найти явно. Для этого находим решение вида . Подставляя его в уравнение (6.11) получаем квадратное уравнение относительно q:
Для устойчивости разностной схемы должно выполнятся неравенство:
для любого i (6.13)
В нашем случае , поэтому неравенство (6.13) будет выполнятся, если
(*)
Квадратное уравнение для q в нашем случае имеет вид
,
где .
Дискриминант этого уравнения всегда положителен
Кроме того, в квадратном уравнении вида
условие на корни (*) выполняется, если при с ≤ 1, т.к.
В нашем случае , , поэтому условие устойчивости запишется в следующем виде:
Это неравенство выполняется при .
Т.о., условие устойчивости двухточечной схемы Адамса на модельной задаче примет вид .
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 532 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
|