Интегро-интерполяционный метод построения разностных схем (метод баланса)
Обычно дифференциальное уравнение выражает некоторый физический закон сохранения. Этот закон можно записать в интегральной форме для интервала сетки (уравнение баланса). Дифференциальное уравнение получается из уравнения баланса при стремлении шага сетки к нулю в предположении существования непрерывных производных, входящих в уравнение.
Входящие в уравнение баланса на сетке производные и интегралы следует заменить приближенными выражениями на сетке. Такой метод называется интегро-интерполяционным методом или методом баланса.
Применим этот метод для построения разностной схемы следующей краевой задачи для ОДУ 2-го порядка:
(10.1)
(10.2)
где - заданные, достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям
.
Для построения разностной схемы введем на отрезке [0,1] равномерную сетку с шагом h:
Обозначим , , . Проинтегрируем уравнение (10.1) на отрезке , тогда получим уравнение
(10.3)
Это уравнение представляет собой уравнение баланса тепла на отрезке .
Чтобы получить из (10.3) трехточечное разностное уравнение, заменим и интегралы в уравнении (10.3) линейной комбинацией значений подынтегральных функций в узлах сетки , например
,
Проинтегрируем равенства по x от xi- 1 до xi
,
В результате получаем из (10.3) схему
(10.4)
При выводе мы фактически предполагали лишь, что при , при .
Напишем разностную аппроксимацию для краевого условия третьего рода
Для этого воспользуемся уравнением баланса при , где
Подставим сюда , , , .
Заменим всюду u на y, получим разностное краевое условие
Перепишем его в следующем виде
, (10.5)
где ,
Оценим на решении u = u(x) уравнения (10.1) величину невязки
.
Подставим ,
,
получим
,
т.е. разностное краевое условие третьего рода (10.5) аппроксимирует условие при x = 0 с погрешностью второго порядка .
Объединяя уравнения (10.4) и (10.5) получим следующую разностную схему для задачи (10.1)-(10.2):
, (10.6)
Систему (10.6) можно записать в виде
,
,
где Ai = ai, Bi = ai+1, Ci = ai+1 + ai + h2di, Fi = h2jI,
,
Данная система решается методом прогонки.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 1896 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
|