П.4.2. Построение семейства схем второго порядка тосности
Идея построения семейства разностных схем 2-го порядка точности состоит в следующем:
Пусть u(x) – решение задачи Коши
Разлагая решение по формуле Тейлора на интервале сетки длины h, имеем
(4.2)
В простейшем случае, ограничиваясь только первым членом разложения и заменяя на f(x,u), получаем для приближенного решения явную схему Эйлера, которая имеет 1-ый порядок точности
.
Можно предположить, что для получения схемы второго порядка точности надо в разложении (4.2) сохранить член со второй производной.
Заменим конечной разностью:
(4.3)
при соответствующем выборе величин . Причем для можно указать приближенную формулу
(4.4)
Из формул (4.2)-(4.4) получаем
Эта формула дает нам право искать разностные схемы второго порядка точности в следующем виде:
, (4.5)
где α, b, g - параметры, подлежащие определению.
Рассмотрим погрешность аппроксимации для схемы (4.5):
где , , , , .
Тогда можно вывести следующие соотношения:
,
С учетом этих соотношений погрешность аппроксимации примет вид:
Следовательно, чтобы погрешность аппроксимации имела второй порядок малости относительно h, необходимо и достаточно выполнения условий
Их можно переписать в следующем виде
введем обозначение , тогда семейство разностных схем (4.5), имеющих погрешность аппроксимации второго порядка, принимает вид однопараметрического семейства:
, (4.6)
где s - любое ненулевое число.
Численные методы решения задачи Коши, использующие разностные схемы семейства (4.6), называются методами Рунге-Кутта второго порядка точности.
Схему (4.6) можно переписать в форме «предикатор-корректор», в которой сначала считается промежуточное значение , а затем оно корректируется:
(4.7)
В частности, при , получаем схему Эйлера-Коши:
(4.8)
При - модифицируемую схему Эйлера:
(4.9)
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 647 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
|