П.6.1. Сценарий построения разностных схем
Для решения задачи коши наиболее употребительными являются q-шаговые методы вида
(6.1)
Рассмотренные ранее одношаговые методы являются частным случаем формы (6.1). Например, при q = 1, b0 = 0, b1 = a0 = 1, a1 = -1 получаем явную схему Эйлера.
Схема (6.1) будет явной, если b0 = 0 (в таком случае она называется экстрополяционной). Значения yi+1 будут тогда определятся из предыдущих значений по явной формуле:
(6.2)
Вычисления начинаются с . Чтобы найти , надо знать значения сеточной функции . Их приходится вычислять с помощью какого-нибудь другого метода, напр. Метода Рунге-Кутта, используя начальное значение .
Если , то схема (6.1) будет неявной (интерполяционной). Тогда для нахождения yi+1 необходимо решать нелинейное уравнение:
(6.3)
Это уравнение можно решать, например методом Ньютона.
Погрешность аппроксимации схемы (6.1) определяется формулой
, (6.4)
где - точное решение задачи Коши.
Если , то схема имеет порядок аппроксимации, равный a.
Коэффициенты в схеме (6.1) выбираются из условия устойчивости и аппроксимации. Кроме того, поскольку коэффициенты схемы определены с точностью до постоянного множителя, можно считать, что
.
Учитывая, что есть решение дифференциального уравнения при , можно получить второе условие из (6.1)
.
Разлагая (6.4) по степеням h и требуя, чтобы погрешность имела заданный порядок, получим остальной набор параметров для нахождения .
Исторически первые многошаговые схемы появились способом, отличным от вышеизложенного.
Если проинтегрировать дифференциальное уравнение на отрезке , то получим формулу
(6.5)
Заменяя теперь в этом соотношении интеграл некоторой квадратурной формулой, выведенной с помощью замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом, построенным по узлам , получим разностную схему
, (6.6)
где - квадратурная формула.
Очевидно, что формула (6.6) частный случай разностной схемы (6.1).
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 818 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
|