П.9.1. Простейшая задача. Разностная аппроксимация второй производной
Рассмотрим простейшую краевую задачу
(9.1)
Введем на отрезке [0,1] равномерную сетку

Попробуем аппроксимировать с помощью значений функции в узлах сетки. Для подбора аппроксимационной формулы воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:
.
Разложим и по степеням h


Тогда погрешность аппроксимации выразится следующим образом:

Потребуем, чтобы выполнялись условия

Тогда и аппроксимация второй производной имеет вид

Применяя эту аппроксимацию к задаче (9.1) получим разностную схему для этой задачи
(9.2)
Погрешность аппроксимации этой схемы имеет второй порядок

Разностная схема (9.2) сводится к решению системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей. Такие методы называются трехточечными.
В общем виде такую схему можно записать в стандартной форме:

Эта форма записи называется прогоночным видом трехточечной разностной схемы.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 776 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
|