П.9.3. Сходимость трехточечной разностной схемы
Для исследования сходимости рассмотрим погрешность разностной схемы в узлах сетки:
Пользуясь линейностью оператора (9.7) и введенными ранее безиндексными обозначениями нетрудно установить, что погрешность в узлах сетки удовлетворяет разностной схеме
(9.11)
где y - погрешность аппроксимации.
Введем оценку для погрешности в узлах сетки zi. Из соотношения (9.10) следует, что
, ,
поэтому схема (9.11) в прогоночном виде запишется следующим образом:
(9.12)
где .
Предположим, что в исходном линейном дифференциальном уравнении (9.3)
Тогда, в частности, имеет место неравенство
(9.13)
Значения zi из схемы (9.12) можно найти методом прогонки
, , , (9.14)
(9.15)
Если , то . И тогда из (9.13) и (9.14) следует .
Поскольку a1 = 0, то по индукции мы получаем, во-первых разрешимость схемы (9.12) в виде (9.15) и во-вторых, справедливость неравенства . Следовательно, из (9.15) можно вывести неравенство .
Учитывая, что zN = 0, получаем соотношение .
Воспользуемся теперь рекуррентной формулой (9.14) для , умножив ее на положительную величину :
Тогда , т.к. .
Поскольку , то . Т.о. для погрешности в узлах сетки zi можно записать неравенство
, для ,
т.к. .
Переходя к норме, получаем , т.е. разностная схема (9.7) для краевой задачи (9.3)-(9.4) при условиях на коэффициенты (9.10) имеет второй порядок сходимости.
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 693 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
|