АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Области затухающих и взрывных колебаний.

По теореме Виета А_гА₂ = -а₂, так что условие (7) необходимо и в случае О > 0, но здесь оно не является достаточным. Система нера­венств

дает необходимое и достаточное условие устойчивости для данного слу­чая. Прежде всего заметим, что для этого требуется, чтобы имело место неравенство \а\\ < 2.

Далее, систему можно заменить одним неравенством:

2- |а1|, ИЛИ а\ + 4а₂ < 4 -

откуда

а₂ < 1 - К1-

Последнему неравенству отвечают точки внутри угла АС В на ри­сунке.

Объединяя все полученные результаты, условие устойчивости можно представить в виде двойного неравенства:

-1 <а₂ < 1 - |а!|, (⁸)

которому отвечают внутренние точки треугольника АС В.

Глава 9. Теория экономических циклов

Математическое приложение 2

Уравнение (9.2) имеет вид уравнения (2), при этом

«1 = С_у + х; ач = —х.

Заметим, что Су ^ 0 и х ^ 0 в силу экономического содержания этих параметров. Согласно теореме Виета,

а! • А? =

Условие I) = 0, разделяющее колебательные и неколебательные ре­шения, теперь имеет вид (С_у + х)² - 4х — О, откуда

х < 4.

При Су < 1^х—х характеристическое уравнение имеет веществен­ные корни. Из неотрицательности параметров С_у и х и равенств (9) следует, что оба корня неотрицательны и обе компоненты решения (4) изменяются монотонно. При С_у < 2^/x — х решение носит колебатель­ный характер.

Условие устойчивости (8) теперь принимает вид

-1 < -х < I - (С_у +х), т. е. представляет собой систему неравенств:

С_у = 2Vx + т - х. Условие устойчивости принимает вид системы неравенств:

х < 1 — га, С_у < 1 + га.

Графически при т > 0 это соответствует сдвигу всех построений на т единиц влево и на такую же величину вверх; значениям т < О соответствует сдвиг в противоположном направлении.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Запишем уравнения (9.24) и (9.28) в следующем виде: абг = [рг/1 - (7 + «)] $<,

[1-г?(_а + п)-^]

= - - "< •

I Л 1

На рис. 9.2 устойчивому движению соответствуют области / (моно­тонное движение) и // (колебательное движение). Неустойчивому дви­жению соответствуют области /// (колебательное движение) и IV (мо­нотонное). Области V соответствуют синусоидальные колебания с посто­янной амплитудой.

Моделям, рассмотренным в разделе 9.1.2, соответствует однородное конечно-разностное уравнение вида

_1 - (х + га)Д</(_2,

Разделив левые и правые части этих уравнений друг на друга, получим

(1)

Интеграл уравнения (1) равен
1 Г 1 1 Г

где А — интегральная постоянная. Из уравнения (2) следует

где т = I для уравнения (9.8) и т = —/г для уравнения (9.10). Вслед­ствие этого парабола АОВ смещается (см. рисунок, б).

Обозначим х* = х + т, С*- = С_у — т. Тогда уравнению можно придать вид, аналогичный уравнению (9.2):

Таким образом, все приведенные выше условия относительно пара­метров С_у та х переносятся на параметры С* их*. Кривая, разделя­ющая области монотонного и колебательного решений, теперь описыва­ется уравнением

Су — гп = 2 \/х + т — (х + га),

•п

Обозначив ¹-"^^+та)

виде

ехр

или

где У_г = «/• е

=₃,_и_(₇ + _а) = /1, представим равенство (3) в

₍ -- - + А) = ехр(Л1п«/< +

/I

(•I)

= 6₄⁹ ехр(-<5</г?).

Глава 9. Теория экономических циклов

Математическое приложение 2

Уравнение (4) описывает семейство интегральных кривых для си­стемы дифференциальных уравнений (9.24) и (9.28). Каждому значению А соответствует своя кривая.

Для графического построения интегральной кривой исследуем сперва дефиниционные функции: У_^ = V^ ехр(р^) и X* = 6<> еxр(-8^/^)). По­скольку vi > 0, <5< > 0, то У* и Х< тоже положительны, а следовательно, их графики целиком располагаются в квадрантах с осями У<, ^* к X^,6^.

Для определения экстремума У₍ приравняем ее первую производную нулю:

= — + р У, = 0.

Следовательно, экстремум У^ достигается при —Н/р = v*. Поскольку

у,,

т. е.

то найденный экстремум является минимумом. Экстремум XI достигается при

а_г. _! << <

—— = дв* ехр(--)- ь _ехр(--)
«о* ту т\ т)

т. е. при ог — дг] = 6*. Поскольку

т. е.

аб'{

то достигнут максимум.

На основе полученных результатов на рисунке построена интеграль­ная кривая.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 567 | Нарушение авторских прав