АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Категория М.

1. Ответ:

Первый способ

Таким образом,

Второй способ

Вычтем первую строку из каждой из остальных строк, после чего разложим полученный определитель по элементам последнего столбца. В результате получим:

Таким образом, получаем рекуррентную формулу

При помощи этой формулы последовательно получаем:

Поскольку , то окончательно имеем

Таким образом,

2. Ответ:

Разложим векторы по базису (рисунок 1):

,

Найдём векторное произведение векторов и :

Вычислим смешанное произведение трёх векторов :

Согласно геометрическому свойству смешанного произведения имеем

3. Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы оси и совпали с осями парабол, а ветви парабол были направлены в положительных направлениях координатных осей (рисунок 1). Тогда уравнения парабол будут иметь вид и , где

Так как по условию параболы пересекаются в четырех точках, то Пусть – любая из четырех точек пересечения парабол. Тогда координаты этой точки удовлетворяют системе уравнений:

Разделим обе части первого уравнения системы на а обе части второго уравнения на и сложим полученные уравнения. В результате будем иметь

Выделяя полные квадраты, получаем

.

Таким образом, точка расположена на окружности с центром в точке и радиусом , что и требовалось доказать.

4. Ответ:

Выполним последовательно следующие подстановки:

В результате получим систему уравнений:

где

Отсюда или где Проверка показывает, что найденная функция является решением данной задачи при любых действительных и

5. Ответ: если , то ; если , то

Рассмотрим последовательность . Тогда

(1)

Предположим, что данное уравнение имеет решение. Переходя в равенстве (1) к пределу при получаем или Таким образом, если исходное уравнение имеет решение, то

Выясним, при каких последовательность является сходящейся и имеет предел, равный

Так как , то и, следовательно,

,

т.е. последовательность является возрастающей.

Методом математической индукции нетрудно доказать, что Действительно, т.к. Если же предположить, что то и Таким образом, последовательность является ограниченной сверху.

Следовательно, согласно теореме Вейерштрасса последовательность имеет конечный предел . Полагая в равенстве (1) и переходя к пределу при , получаем, что является корнем уравнения

(2)

где

Уравнение (2) имеет корень причём

Рассмотрим 3 случая.

1). Если , то и, следовательно, уравнение (2) имеет единственное решение (прямая касается графика показательной функции в точке ) (рисунок 1).

2). Если , то и уравнение (2) имеет два корня: или Так как то (рисунок 2).

3). Если , то и уравнение (2) имеет два корня: или (рисунок 3). При этом а, значит, . Поэтому Следовательно, в этом случае .

Таким образом, если и если .

Итак, если , то исходное уравнение имеет единственное решение а если то уравнение решений не имеет.

6. Данное неравенство равносильно неравенству или

Пусть Тогда

так как Следовательно, функция определённая и непрерывная является возрастающей на этом промежутке. Значит, т.е. или , что и требовалось доказать.

7. Рассмотрим функцию Эта функция определена и непрерывна на замкнутом отрезке а на его концах принимает значения разных знаков:

Следовательно, согласно первой теореме Больцано-Коши существует точка такая, что , то есть или .

Функция определена и непрерывна на замкнутом отрезке и дифференцируема внутри этого промежутка, то есть удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. Следовательно, существует точка такая, что

.

Аналогично, существует точка такая, что

.

Тогда где что и требовалось доказать.

8. Ответ:

Преобразуем подынтегральную функцию:

.

Поэтому

9. Ответ: , где – произвольная постоянная; ; .

Нетрудно убедиться, что , – решения данного уравнения.

Пусть . Разделим обе части исходного уравнения на : Преобразуем полученное уравнение к виду

. (1)

Сделаем замену переменных: Тогда

Относительно переменных и уравнение (1) приводится к уравнению с разделёнными переменными . Интегрируя, получаем , где – произвольная постоянная. Возвращаясь к переменным и , окончательно имеем общий интеграл данного уравнения в виде

.

10. Ответ: сходится условно.

Преобразуем общий член данного ряда:

Так как последовательность положительных чисел , монотонно возрастая, стремится к , то последовательность положительных чисел монотонно убывая, стремится к нулю. Следовательно, согласно теореме Лейбница, данный ряд сходится.

Так как то

Поэтому ряд, составленный из модулей данного числового ряда, является расходящимся. Таким образом, данный числовой ряд сходится условно.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 333 | Нарушение авторских прав