АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Категория Т. В решении задачи 61 заменить на и положить

11. Ответ:

В решении задачи 61 заменить на и положить

12. Ответ:

В решении задачи 2 положить

13. См. решение задачи 3.

14. Ответ:

Выполним последовательно следующие подстановки:

; ; .

В результате получим систему уравнений:

где

Решая эту систему, получаем или

Проверка показывает, что найденная функция является решением данной задачи для любого действительного

15. Ответ: уравнение корней не имеет.

См. решение задачи 5.

16. Ответ: не существует.

Докажем, что справедливо неравенство: причем равенство имеет место лишь при Данное неравенство равносильно неравенству или Пусть Тогда и, следовательно, при Нетрудно проверить, что является точкой минимума функции а, значит, при функция принимает наименьшее значение Для всех остальных точек имеем т.е. а, значит, Следовательно, не существует действительного числа такого, что

17. См. решение задачи 7.

18. См. решение задачи 8.

19. См. решение задачи 9.

20. Ответ: сходится абсолютно.

Общий член данного ряда может быть преобразован к виду (см. решение задачи 10). Так как то данный ряд является абсолютно сходящимся.

Категория С

21. Ответ:

В решении задачи 11 положить

22. Ответ:

В решении задачи 2 положить

23. См. решение задачи 3.

24. Ответ:

Пусть тогда , и уравнение примет вид

.

Таким образом, для определения функции имеем систему двух уравнений:

Умножая обе части второго уравнения на и складывая с первым уравнением, получаем В силу непрерывности функции имеем Проверка показывает, что функция удовлетворяет всем условиям задачи.

25. Ответ: .

См. решение задачи 5.

26. См. решение задачи 16.

27. Пусть многочлен имеет более одного действительного корня (таких корней многочлен степени с действительными коэффициентами имеет не более чем ), и пусть и – корни многочлена так что интервал не содержит других действительных корней данного многочлена. Отметим, что и , так как многочлен может иметь лишь отрицательные корни. Поскольку

,

то и, следовательно, , , а, значит, в точках и производная имеет одинаковые знаки (положительна, если – нечётное, отрицательна, если – чётное). Тогда в некоторой правой полуокрестности точки и некоторой левой полуокрестности точки многочлен будет иметь разные знаки, а, следовательно, существует точка такая, что Пришли к противоречию. Это значит, что многочлен имеет не более одного действительного корня, что и требовалось доказать.

28. См. решение задачи 8.

29. Ответ: где – произвольная действительная постоянная;

Очевидно, что исходное уравнение имеет решение . Пусть . Сделаем замену переменных: ,

. Тогда данное уравнение преобразуется к виду

или

(1)

Уравнение (1) является однородным и при помощи замены может быть приведено к уравнению с разделяющимися переменными

(2)

Интегрируя уравнение (2), получаем или

(3)

Возвращаясь к переменной соотношение (3) можно записать в виде где – произвольная действительная постоянная. Значению соответствует решение (), которое было утеряно при разделении переменных.

Полученное решение имеет место и при .

30. Ответ: 15 вагонов.

Выясним, как можно загрузить вагон. По весу уже три больших контейнера не войдут в вагон, поскольку вместе весят 90 тонн. Значит, есть три типа загрузки вагона: нуль больших и не более малых, один большой и не более малых (по весу вошло бы 25 малых контейнеров, но в вагоне всего 30 мест и 9 из них уже занято большим контейнером), два больших контейнера и не более малых. Пусть загружено вагонов по первому типу, по − второму и − по третьему. Тот факт, что перевезены 20 больших и 250 малых контейнеров, означает, что

Умножив первое неравенство на 9 и сложив со вторым, получим

Отсюда . Так как – целое число, то . Легко проверить, что годятся и дают в сумме ровно 15. Поскольку доказано, что , получаем, что минимальное число вагонов, необходимое для транспортировки всех контейнеров, равно 15.

Олимпиада 2008 г.

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 384 | Нарушение авторских прав