АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Категория С. 53. Выберем прямоугольную декартову сис

51. Ответ: и

Cм. решение задачи 31.

52. Cм. решение задачи 32.

53. Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы оси и являлись асимптотами равнобочной гиперболы, а ветви гиперболы располагались в первом и третьем квадрантах. Тогда уравнение равнобочной гиперболы будет иметь вид . Составим уравнение касательной к гиперболе в произвольной точке , принадлежащей гиперболе: или . Пусть и – абсциссы точек пересечения касательной с осями координат и (асимптотами гиперболы) соответственно. Тогда . Поэтому , а это значит, что отрезок любой касательной к равнобочной гиперболе, заключённый между её асимптотами, делится точкой касания пополам, что и требовалось доказать.

54. Ответ: .

Первый способ

Из условия задачи следует, что

…

или

…

Методом математической индукции нетрудно доказать, что Эту формулу можно преобразовать к виду откуда следует, что .

Второй способ

Рекуррентную формулу т.е.

,

можно записать в виде или в виде Отсюда следует, что

Исключая из этой системы получаем: Поэтому .

55. Ответ:

Если в функциональное уравнение подставить то получим уравнение или

Полагая в этом уравнении получаем т.е. . Следовательно, т.е.

Проверка показывает, что функция удовлетворяет условию задачи.

56. Ответ: любое значение из промежутка

Используя второй замечательный предел, получаем

Из неравенства следует, что Найдём наибольшее и наименьшее значения функции в области . Внутри области существует единственная стационарная точка причём На границе области имеем

и, следовательно,

где

Функция на отрезке принимает наименьшее значение в точке : , а наибольшее значение – в единственной стационарной точке : . Следовательно, наибольшее значение функции в области равно , а наименьшее значение равно . Так как функция является непрерывной в области , то она принимает все значения от до включительно. Поэтому величина (т.е. ) может принимать любое значение из промежутка

57. Ответ:

Нетрудно проверить, что линейная функция удовлетворяет всем условиям задачи. Пусть – любая другая функция, удовлетворяющая всем условиям задачи. Рассмотрим функцию Функция удовлетворяет условиям: . Кроме того, , т.к. . Следовательно, функция является неубывающей функцией на отрезке , а на концах этого отрезка принимает одинаковые значения: . Поэтому т.е. Таким образом, всем условиям задачи удовлетворяет только линейная функция

58. См. решение задачи 38.

59. Ответ: .

Определим функцию

1). Если , то

2). Если , то

3). Если , то

Таким образом, наименьшее значение функции равно

60. Ответ: 24 и 7.

Пусть и – число деталей, изготовленных первым и вторым рабочими соответственно. Тогда целые неотрицательные переменные и удовлетворяют следующей системе неравенств:

Из этой системы последовательно получаем:

т.к. – целочисленная переменная. Если , то исходная система неравенств не имеет целочисленных решений. Если то исходная система неравенств имеет единственное целочисленное решение .

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 466 | Нарушение авторских прав