Акушерство Анатомия Анестезиология Вакцинопрофилактика Валеология Ветеринария Гигиена Заболевания Иммунология Кардиология Неврология Нефрология Онкология Оториноларингология Офтальмология Паразитология Педиатрия Первая помощь Психиатрия Пульмонология Реанимация Ревматология Стоматология Терапия Токсикология Травматология Урология Фармакология Фармацевтика Физиотерапия Фтизиатрия Хирургия Эндокринология Эпидемиология

Категория М. Данный определитель имеет вид

Прочитайте:

61. Ответ: .

Данный определитель имеет вид

Поменяем местами столбцы с номерами и , т.е. первый и последний столбцы, второй и предпоследний и т.д. В результате получим

Поэтому (см. решение задачи 71)

или

Если , то полученную формулу можно преобразовать к виду

Если , то .

62. Предположим, что векторы линейно зависимы. Тогда найдутся действительные числа , не все равные нулю и такие, что

Отсюда или

, (1)

где .

Так как векторы линейно независимы, то . Кроме того, из (1) в силу линейной независимости векторов следует, что …, . Отсюда

А это означает, что . Пришли к противоречию. Значит, векторы линейно независимы, что и требовалось доказать.

63. Ответ: .

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что координаты произвольной точки данной кривой , , удовлетворяют уравнению конуса, т.е. данная кривая лежит на конусе.

Выберем произвольную точку кривой и найдём угол , под которым пересекаются образующая конуса и данная кривая в точке . В качестве направляющего вектора образующей можно выбрать вектор, коллинеарный вектору , например, вектор , а в качестве направляющего вектора кривой – вектор, коллинеарный вектору , например, вектор . Тогда . Отсюда .

64. Ответ: .

Разделим каждое из данных чисел на положительное число и сравним полученные числа и . Представим эти числа в виде:

, .

Рассмотрим функцию . Тогда

Действительно, функция удовлетворяет следующим условиям: 1) ; 2) при ; 3) убывает на промежутке , так как . Поэтому , а, следовательно, и , т.е. функция

возрастает на промежутке . Таким образом,

Поэтому , а, значит,

65. Ответ: .

Из условия задачи следует, что каждое из чисел 1, 2, …, является элементом хотя бы одного из множеств и ни одно из этих чисел не входит сразу во все множества . Поэтому количество способов, которым можно разместить каждое из чисел 1, 2, …, в множества равно

Следовательно, согласно правилу произведения имеется искомых упорядоченных наборов множеств .

66. Пусть многочлен имеет корни кратности соответственно (, , ; ). Тогда

Рассмотрим два случая.

1). Если , то данное неравенство является верным.

2). Пусть . Тогда , откуда

Дифференцируя обе части данного равенства по , получаем

Отсюда или .

Таким образом, неравенство справедливо , что и требовалось доказать.

67. Ответ: 1.

Для всех имеем:

Разделим обе части этого равенства на и продифференцируем по :

Так как степенной ряд можно дифференцировать почленно, то

Полагая , окончательно получаем

68. Ответ: .

, так как

69. Ответ: .

Перепишем данную систему в виде

(1)

где .

Сложим уравнения системы (1). В результате получим:

Отсюда или

(2)

где произвольная константа.

Соотношение (2) – первый интеграл системы (1). Для того, чтобы найти ещё один первый интеграл данной системы, преобразуем второе уравнение системы (1):

, или в силу (2) .

Отсюда,

, (3)

где произвольная константа.

Очевидно, что первый интеграл (2) и первый интеграл (3) независимы. Следовательно, их система – общий интеграл данной системы дифференциальных уравнений.

70. Ответ: , .