АкушерствоАнатомияАнестезиологияВакцинопрофилактикаВалеологияВетеринарияГигиенаЗаболеванияИммунологияКардиологияНеврологияНефрологияОнкологияОториноларингологияОфтальмологияПаразитологияПедиатрияПервая помощьПсихиатрияПульмонологияРеанимацияРевматологияСтоматологияТерапияТоксикологияТравматологияУрологияФармакологияФармацевтикаФизиотерапияФтизиатрияХирургияЭндокринологияЭпидемиология

Категория М

31. Ответ: и или

и

Введём следующие обозначения:

, .

Здесь и – матрица и расширенная матрица данной линейной системы соответственно.

Вычислим все миноры 3-го порядка матрицы :

Найдём также определитель расширенной матрицы данной линейной системы:

Рассмотрим два случая.

1). Пусть т.е. Тогда, если все числа равны нулю, то данная система является совместной и неопределённой (т.е. имеет бесчисленное множество решений). Если же хотя бы одно из чисел отлично от нуля, т.е. выполняется условие то система является несовместной.

2). Пусть т.е. хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Тогда хотя бы один из миноров отличен от нуля. Это значит, что ранг матрицы равен 3. Если при этом выполняется условие то ранг расширенной матрицы также равен 3, а, следовательно, согласно теореме Кронекера-Капелли данная система является совместной. Так как число неизвестных равно рангу матрицы то данная совместная система является определённой, т.е. имеет единственное решение. Если же то ранг расширенной матрицы равен 4, т.е. не равен рангу матрицы , а, значит, данная система является несовместной.

Таким образом, если и или и то исходная система линейных уравнений является несовместной.

32. Представим векторы в виде суммы двух векторов:

(случай изображен на рисунке 1). Тогда

.

Если каждый из векторов повернуть на вокруг его начала, то они совпадут соответственно с векторами , сумма которых равна При этом вектор, равный сумме векторов , также повернётся на , а его модуль не изменится. Поэтому и , а, значит, ,

что и требовалось доказать.

33. Ответ: в отношении 1:1.

Пусть хорда первой параболы касается второй параболы в точке где Уравнение этой касательной имеет вид или Точки пересечения касательной с первой параболой (т.е. концы хорды) определяются системой уравнений:

Исключая из этой системы получаем квадратное уравнение , которому удовлетворяют абсциссы и концов хорды первой параболы. Решая квадратное уравнение, получаем: , . Поэтому , а это значит, что хорда первой параболы, касающаяся второй параболы, делится точкой касания пополам.

34. Ответ: .

Первый способ

Из условия задачи следует, что

…

или

…

Предположим, что

Используя формулу для суммы первых членов геометрической прогрессии, получаем формулу , которую нетрудно доказать методом математической индукции. Таким образом, .

Второй способ

Рекуррентную формулу

т.е.

можно записать в виде или в виде Отсюда следует, что

Исключая из этой системы получаем . Поэтому .

35. Ответ: таких функций не существует.

Подставляя в данное функциональное уравнение, получаем . Это уравнение имеет два действительных корня: или . Полагая в функциональном уравнении получаем или Если то Если то Проверка показывает, что ни функция ни функция не удовлетворяют данному функциональному уравнению, а, следовательно, это уравнение не имеет решений.

36. Из условия задачи следует, что а это значит, что функция является возрастающей на промежутке Кроме того, из условия задачи также следует, что

Поэтому , т.к.

Таким образом, функция является возрастающей и ограниченной сверху числом , а это значит, что согласно признаку Вейерштрасса имеет при конечный предел и этот предел не больше, чем что и требовалось доказать.

37. Ответ: .

Первый способ

Нетрудно проверить, что функция удовлетворяет всем условиям задачи. Эта функция принимает наибольшее значение, равное , в точке . Предположим, что найдётся другая функция удовлетворяющая всем условиям задачи и такая, что , где

Рассмотрим функцию Очевидно, что Кроме того,

т.к. а Значит, функция является строго возрастающей. Однако согласно теореме Ролля и такие, что Пришли к противоречию. Следовательно, не существует функции, удовлетворяющей всем условиям задачи и такой, что её наибольшее значение превосходит . Таким образом, наибольшее значение, которое может принимать максимум функции для всевозможных функций, удовлетворяющих условиям задачи, равно .

Второй способ

Пусть наибольшее значение функции достигается в точке тогда Используя формулу Тейлора второго порядка, получаем

где

Так как то

(1)

Рассмотрим 2 случая.

1). Пусть . Полагая в формуле (1), получаем откуда и, следовательно, .

2). Пусть . Полагая в формуле (1), получаем откуда и, следовательно, .

Таким образом, в обоих случаях , а это значит, что . Нетрудно проверить, что функция удовлетворяет всем условиям задачи и принимает наибольшее значение, равное , в точке . Следовательно, наибольшее значение, которое может принимать максимум функции для всевозможных функций, удовлетворяющих условиям задачи, равно .

38. Ответ: 0.

Первый способ

Преобразуем подынтегральную функцию данного интеграла:

Поэтому

Следовательно, .

Если и то

и

Аналогично, если и то

и

Таким образом, если , то

Второй способ

.

Поэтому

Замечание.

Несобственный интеграл является сходящимся. Действительно, если то . Если , то при , где если и если

39. Из условия задачи следует, что – многочлен чётной степени (), коэффициент при старшей степени больше нуля (его можно считать равным 1) и что все корни многочлена комплексные и их можно разбить на пары комплексно сопряжённых чисел: и , и , …, и . Поэтому многочлен можно представить в виде

Произведение первых множителей представляет собой многочлен степени , который является комплексно сопряжённым многочлену степени , представляющему собой произведение последних множителей, т. е.

или , где и – многочлены с действительными коэффициентами, что и требовалось доказать.

40. Ответ: где

Пусть Введём новую искомую функцию полагая Относительно новой искомой функции данное дифференциальное уравнение принимает вид . В этом уравнении переменные разделяются: . Интегрируя и возвращаясь к старой искомой функции, получаем где При разделении переменных было потеряно решение которому соответствует решение исходного уравнения.

Так как при замене на данное дифференциальное уравнение не меняется, то его общее решение может быть записано в виде где

Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 376 | Нарушение авторских прав