Интегрирование функции на ограниченном множестве
Двойной интеграл от функции , подобно определенному интегралу, определяется при помощи интегральных сумм функции . Интегральные суммы функции определялись на отрезке . Естественным обобщением отрезка в пространстве является замкнутая и ограниченная область .
Пусть на множестве определена ограниченная функция . Рассмотрим разбиение области некоторыми кривыми на частичных областей , (рис.15.4). Диаметром области назовем наибольшее расстояние между точками этой области, а размером разбиения назовем наибольший среди диаметров частичных областей: .
В каждой частичной области , площадь которой обозначим символом , выберем точку .
$$15.4
Определение 15.13. Сумма называется интегральной суммой функции на области .
Значение числа зависит как от выбора разбиения , так и от выбора точек .
Определение 15.14. Последовательность разбиений области называется правильной, если . Числовая последовательность называется последовательностью интегральных сумм, если последовательность разбиений является правильной, а на выбор точек не накладывается никаких ограничений.
Определение 15.15. Число называется пределом интегральных сумм ограниченной функции на области , если каждая последовательность интегральных сумм сходится к точке . Этот предел обозначают символом .
Так как определение предела интегральных сумм сформулировано в терминах пределов последовательности, то это позволяет перенести основные результаты теории пределов на этот новый вид предела.
Определение 15.16. Число называется двойныминтегралом функции
на области , его обозначают символом , функция называется интегрируемой на области .
Из этого определение следует, что
.
Замечание. Функция , непрерывная на замкнутом и ограниченном множестве, интегрируема на этом множестве. ▲
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 625 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
|