Доказательство. 1.Пусть сначала интеграл от функции сходится
1. Пусть сначала интеграл от функции сходится. Так как существует предел , , то из леммы следует ограниченность функции на некотором промежутке , , т.е. или , если . Из свойства 2 несобственных интегралов и условия теоремы следует, что интеграл сходится. Теперь из теоремы 15.1 вытекает сходимость интеграла , а из свойства 2 несобственных интегралов следует, что интеграл сходится.
2. Пусть интеграл сходится. Из условия теоремы следует, что . Теперь из 1 -го утверждения доказательства теоремы вытекает сходимость интеграла .
3. Пусть интеграл от функции расходится. Докажем, что интеграл от функции расходится методом от противного. Если предположить, что интеграл от функции сходится, то из пункта 2 (1) доказательства теоремы следует сходимость интеграла от функции . Противоречие. ■
Теорема 15.3. Пусть на промежутке функция , а функция и существует предел . Тогда несобственный интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство проводится аналогично. ■
Замечание. Использовать 2-й признак сходимости несобственных интегралов можно следующим образом. Надо положить и подобрать так значение , чтобы предел . Затем определить при выбранном значении сходимость интеграла от функции . Из теорем 15.2 и 15.3 следует, что интегралы от функций и сходятся или расходятся одновременно. ▲
Примеры. Исследовать на сходимость следующие интегралы:
15.12. . 15.13. .
15.14. . 15.15. .
Дата добавления: 2015-01-18 | Просмотры: 525 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
|