2.Интеграл сходится тогда и только тогда, когда для
любого числа сходится интеграл , причем справедлива формула
.
Доказательство. Используя свойство аддитивности определенного интеграла, имеем следующую цепочку равенств
.
Отсюда следует, что существует тогда и только тогда, когда для любого числа существует предел , т.е.интеграл сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл . Второе утверждение свойства вытекает из импликации
.
3.Из сходимости интегралов и следует, что сходится интеграл и справедлива формула
.
Доказательство.
.
4.Если функция неотрицательна и интегрируема на промежутке , то и .
Доказательство. Так как функция при любом
, то . Теперь из второго свойства несобственных интегралов и неравенства следует импликация
.
5.Если интеграл сходится, то при любом выборе точки
справедлива формула .
Доказательство. Из свойства 2, сходимости интегралов и вытекает сходимость интегралов и . Теперь имеем
. ■
Аналогичные свойства справедливы и для других несобственных интегралов 1-го рода.
Геометрический смысл несобственного интеграла 1-го рода от неотрицательной функции — это площадь бесконечной фигуры, ограниченной сверху графиком функции , снизу — осью , слева прямой (рис. 15.1) или справа прямой ; в случае интеграла, у которого оба предела бесконечны — это площадь бесконечной фигуры, ограниченной сверху графиком функции , снизу — осью .