Оптимизация структуры портфеля, состоящего из п разновидностей рисковых ценных бумаг
Обозначения:
^^ — ожидаемая доходность г'-той ценной бумаги; г = 1, 2,..., п;
д^ — доля г'-той ценной бумаги в портфеле;
а^^ -- ковариация между г'-той и ^'-той ценными бумагами;
Гр — ожидаемая доходность портфеля;
егр — стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля.
В соответствии с теорией вероятностей:
Г1
д^^^ = (д\-.-дп) х
>гп.
-
+2#1 030-13
г=1}=1
; <т^^ = а^^ V»,.?.
Дана функция полезности инвестора, характеризующая его отношение к доходности и риску: П(гр,ст^} — -фгр - а"^, где ф — параметр предпочтения между риском и доходностью.
• тах при
Решение (посредством функции Лагранжа).
п
I = фгр - о-р - А($3 д^ - 1) -+ тах.
«= 1
Условия максимизации:
ЭЬ
- — = ч/'П - 201 <гц -
ОЕ
— — = •фп - 201 СГ,'! - 20204-2 - - - 20П0-.П - Л = О,
а! Ж
фгп - 1д\ггп\ -
1 -31 - ••• - 9п = 0.
Глава 5. Рынок капитала
Математическое приложение 2
В матричной форме данная система уравнений имеет вид
/20-ц... 2<71„ 1\
С"1 представляет структуру портфеля с минимальным риском. Доходность такого портфеля равна:
= 0.
(1)
1 = 1
\ 1
О/ V А /
а риск:
Обозначим уменьшаемое в равенстве (1) В., первый сомножитель вычитаемого (матрицу) — С, а второй сомножитель (вектор) — С. Тогда условие максимизации функции Лагранжа можно записать в виде Н — СхС = 0=>Сг = С~1 х П. Определим обратную матрицу к матрице С и для краткости обозначим все ее элементы, кроме последнего столбца и последней строки, — а^^. Элементы последнего столбца и последней строки получаются одинаковыми, и их обозначим с±.
1=1Л=1
/аи
\
;МАТИ
:ожение
с-1 =
V
В этой матрице Е?=1 а,',' = 0; Е?=1 *Ц = 0; ЕГ=1 <* = 1-
Для определения оптимальной структуры портфеля остается решить систему уравнений:
/91 \ /«и
9п 1
| =
| ап1 ••• О'пп
| \ А / \ С1... сп
| 9\ — С1 ~Ь Ф(а\ 1 **! Н
| Предположим, что финансовые средства субъекта состоят из двух частей: рыночного портфеля определенного размера и еще одной акции ^'-того вида, уже содержащегося в рыночном портфеле в соответствующей пропорции. Доля цены этой акции в общих финансовых средствах инвестора равна п. Тогда в соответствии с равенством (5.1) ожидаемая доходность финансов инвестора определяется по формуле: г„ = пг] + (1 — п)?м. Стандартное отклонение будет равно
2п(1 - п) соу(г^, гм).
Определим предельное соотношение между доходностью и риском финансовых средств субъекта:
да-у ап I ап '0.5[2п«г? - 2(1 - п)^ +2(1 - 2п)соу(г,,гм)] _
_ „)
9п = сп + ф(апгг1 +... + аппгп).
Обозначив 6, = Е}1-! а1} гз > получим следующую формулу для определения оптимальной доли каждого вида ценных бумаг в портфеле: д^ — ъ + 1/>&; •
Определим портфель с минимальным риском. По своей природе параметр •ф представляется тангенсом угла, образованного осью ординат и касательной к области выбора инвестора в точке, представляющей оптимальный портфель (см. рис. 5.13). Когда инвестор выбирает портфель с минимальным риском, тогда касательная становится параллельной оси ординат, и поэтому ф = 0. Значит, у портфеля, обладающего минимальным риском, д; = с;, т. е. последний столбец (строка) обратной матрицы
па] - (1 - п)^м + (1 - 2п)соу(г;-,гм) (1 _ п)2(Т^ + 2„(1 _ п)соу(г
Из отношения (1) можно вывести предельное соотношение между доходностью и риском рыночного портфеля. Для этого нужно взять п = 0, т. е. предположить, что портфель рисковых активов субъекта в точности соответствует структуре рыночного портфеля, и тогда:
г,- - гм
6.1, Условия совместного равновесия
Дата добавления: 2015-09-27 | Просмотры: 542 | Нарушение авторских прав
|